Введение

Отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности.

Масштаб карты – это отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности. Эта простая концепция усложняется кривизной земной поверхности, которая приводит к изменению масштаба на карте. Из-за этого изменения понятие масштаба приобретает два различных значения. Первое – это отношение размера исходного глобуса к размеру Земли. Исходный глобус – это концептуальная модель, до которой Земля уменьшена и с которой выполняется проекция карты. Отношение размера Земли к размеру исходного глобуса называется номинальным масштабом (также известным как главный масштаб или представительная дробь). Многие карты указывают номинальный масштаб и могут даже отображать линейный масштаб (иногда просто называемый "масштабом") для его представления. Второе значение масштаба связано с его изменением по площади карты. Это отношение масштаба в конкретной точке карты к номинальному масштабу. В этом случае термин "масштаб" означает масштабный коэффициент (также называемый точечным масштабом или частным масштабом). Если область карты достаточно мала, чтобы пренебречь кривизной Земли, например, план города, то можно использовать одно значение масштаба без ошибок измерений. На картах, охватывающих большие территории или всю Землю, масштаб карты может быть менее полезным или даже бесполезным для измерения расстояний. Проекция карты становится критически важной для понимания того, как масштаб изменяется по всей карте. Когда масштаб заметно меняется, это изменение можно учитывать как масштабный коэффициент. Индикатриса Тиссо часто используется для иллюстрации изменения точечного масштаба на карте.

История

Основы количественного масштабирования карт уходят корнями в древний Китай, что подтверждается письменными свидетельствами о понимании идеи масштабирования карт уже во втором веке до нашей эры. Древние китайские землемеры и картографы располагали достаточными техническими средствами для создания карт, такими как счетные палочки, угольники, отвесы, компасы для черчения окружностей и визирные трубки для измерения уклона. Намеки на зарождающуюся систему координат для определения местоположений встречаются в работах древних китайских астрономов, которые делили небо на различные сектора или лунные стоянки. Китайский картограф и географ Пэй Сю периода Троецарствия создал серию крупномасштабных карт, выполненных в масштабе. Он сформулировал ряд принципов, подчеркивающих важность последовательного масштабирования, направленных измерений и корректировки наземных измерений в картографируемой местности. Таким образом, план Нью-Йорка с точностью до одного метра или план строительной площадки с точностью до одного миллиметра будут соответствовать вышеуказанным условиям, позволяющим пренебречь кривизной Земли. Такие планы можно обработать с помощью плановой геодезии и отобразить в виде масштабных чертежей, где любые две точки на одинаковом расстоянии на чертеже соответствуют одинаковому расстоянию на местности. Реальные расстояния на местности вычисляются путем измерения расстояния на карте и последующего умножения на обратную величину масштаба или, что эквивалентно, просто перенося разницу между точками на карте на штрих-масштаб с помощью циркуля.

Точечная шкала (или конкретная шкала)

Как доказано теоремой Гаусса "Egregium", сферу (или эллипсоид) нельзя спроецировать на плоскость без искажений. Это обычно иллюстрируется невозможностью разгладить кожуру апельсина на плоской поверхности без разрывов и деформаций. Единственным истинным представлением сферы в постоянном масштабе является другая сфера, такая как глобус. Учитывая ограниченный практический размер глобусов, для детального картографирования необходимо использовать карты. Карты требуют проекций. Проекция подразумевает искажения: постоянное расстояние на карте не соответствует постоянному расстоянию на местности. Хотя на карте может быть отображена графическая шкала расстояний, её следует использовать с пониманием того, что она будет точной лишь на некоторых линиях карты. (Это обсуждается подробнее в примерах в следующих разделах.) Пусть P – точка с широтой и долготой на сфере (или эллипсоиде). Пусть Q – соседняя точка, а – угол между элементом PQ и меридианом в точке P: этот угол является азимутальным углом элемента PQ. Пусть P' и Q' – соответствующие точки на проекции. Угол между направлением P'Q' и проекцией меридиана называется румбом (или направлением). В общем, комментарий: это точное различие между азимутом (на поверхности Земли) и румбом (на карте) не всегда соблюдается, многие авторы используют эти термины почти как взаимозаменяемые. Определение: точечный масштаб в точке P – это отношение двух расстояний P'Q' и PQ в пределе, когда Q стремится к P. Это записывается как , где обозначение указывает, что точечный масштаб является функцией положения P, а также направления элемента PQ. Определение: если точки P и Q лежат на одном и том же меридиане, то меридианный масштаб обозначается как . Определение: если точки P и Q лежат на одной и той же параллели, то параллельный масштаб обозначается как . Определение: если точечный масштаб зависит только от положения, а не от направления, то он считается изотропным, и его значение в любом направлении обычно обозначается как параллельный масштабный коэффициент. Определение: Проекция карты считается конформной, если угол между двумя линиями, пересекающимися в точке P, равен углу между спроецированными линиями в спроецированной точке P', для всех пар линий, пересекающихся в точке P. Конформная карта имеет изотропный масштабный коэффициент. И наоборот, изотропные масштабные коэффициенты на карте подразумевают конформную проекцию. Изотропия масштаба подразумевает, что малые элементы растягиваются одинаково во всех направлениях, то есть форма малого элемента сохраняется. Это свойство называется ортоморфизмом (от греческого «правильная форма»). Уточнение «малый» означает, что при заданной точности измерения изменение масштабного коэффициента на элементе не может быть обнаружено. Поскольку конформные проекции имеют изотропный масштабный коэффициент, их также называют ортоморфными проекциями. Например, проекция Меркатора является конформной, поскольку она построена для сохранения углов, а её масштабный коэффициент изотропен и является функцией только широты: проекция Меркатора сохраняет форму в небольших областях. Определение: на конформной проекции с изотропным масштабом точки с одинаковым значением масштаба можно соединить, чтобы образовать линии изомасштаба. Они не наносятся на карты для конечных пользователей, но встречаются во многих стандартных текстах. (См. Снайдер).

Графики масштабных факторов

График показывает изменение коэффициентов масштаба для трех вышеуказанных примеров. Верхний график демонстрирует изотропную функцию масштаба проекции Меркатора: масштаб по параллели совпадает с масштабом по меридиану. На остальных графиках показаны коэффициенты масштаба меридианов для равноугольной цилиндрической проекции (h=1) и проекции Ламберта с равной площадью. Эти две последние проекции имеют масштаб по параллели, идентичный графику Меркатора. Для проекции Ламберта следует отметить, что масштаб по параллели (как у Меркатора A) увеличивается с широтой, а масштаб по меридиану (C) уменьшается с широтой таким образом, что hk=1, обеспечивая сохранение площади.

Изменение масштаба на проекции Меркатора

Точечный масштаб проекции Меркатора равен единице на экваторе, поскольку вспомогательный цилиндр, используемый при её построении, касается Земли на экваторе. По этой причине данную проекцию следует называть касательной проекцией. Масштаб изменяется с широтой, и поскольку он стремится к бесконечности по мере приближения к полюсам, карта Меркатора сильно искажается на высоких широтах. Поэтому эта проекция совершенно непригодна для создания карт мира (за исключением случаев, когда речь идет о навигации и локсодромиях). Однако на широте около 25 градусов значение масштаба составляет примерно 1,1, поэтому проекция Меркатора обеспечивает точность в пределах 10% в полосе шириной 50 градусов, центрированной на экваторе. Более узкие полосы дают лучшие результаты: полоса шириной 16 градусов (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 части на 100. Стандартным критерием для качественных карт крупного масштаба является точность в пределах 4 частей на 10 000, или 0,04%, что соответствует значению масштаба, достигаемому на широте в градусов (см. рисунок ниже, красная линия). Следовательно, касательная проекция Меркатора обладает высокой точностью в полосе шириной 3,24 градуса, центрированной на экваторе. Это соответствует расстоянию по меридиану около В пределах этой полосы проекция Меркатора очень хороша, высокоточна и сохраняет форму, поскольку является конформной (сохраняет углы). Эти наблюдения послужили стимулом для разработки поперечных проекций Меркатора, в которых меридиан рассматривается как «экватор» проекции, что позволяет получить точную карту в узкой окрестности этого меридиана. Такие карты хорошо подходят для стран, вытянутых с севера на юг (например, Великобритания), и набор из 60 таких карт используется в Универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM). Следует отметить, что в обеих этих проекциях (основанных на различных эллипсоидах) уравнения преобразования координат x и y, а также выражение для масштабного фактора являются сложными функциями как широты, так и долготы.

Символ пропорции

В то время как двоеточие часто используется для обозначения отношений, Юникод может предоставить символ, специально предназначенный для отношений, слегка приподнятый над строкой: .