Кіріспе

Нақты сандар жиынының кардиналдығы
Жинақтар теориясында континуумның кардиналдығы — нақты сандар жиынының кардиналдығы немесе "өлшемі", кейде континуум деп аталады. Бұл шексіз кардинал сан және ол (кіші әріпті фратур "c") немесе <math> арқылы белгіленеді.

Нақты сандар табиғи сандардан көп. Сонымен қатар, -ның элементтерінің саны -ның қуат жиынының элементтерінің санымен тең. Символдық түрде, егер -ның кардиналдығы болса, онда континуумның кардиналдығы -ға тең.

Бұл 1874 жылы Георг Кантордың санауға келмейтін санының дәлелінде көрсетілген, ол шексіздіктердің әртүрлі түрлерін зерттеуге арналған маңызды еңбектерінің бір бөлігі болды. Бұл теңсіздік 1891 жылы оның диагональдық аргументінде одан да қарапайым түрде айтылды. Кантор кардиналдылықты биективті функциялар арқылы анықтады: екі жиынның кардиналдығы бірдей, егер және тек қана егер олардың арасында биективті функция болса. Кез келген екі нақты санның арасында, a < b, олар бір-біріне қаншалықты жақын болса да, әрқашан шексіз көп басқа нақты сандар бар, және Кантор олардың саны нақты сандардың бүкіл жиынындағы сандардың санымен тең екенін көрсетті. Басқаша айтқанда, ашық интервал (a, b) - эквинумерлік. Бұл кез келген n өлшемді Евклид кеңістігі сияқты басқа да шексіз жиынтықтар үшін де дұрыс (кеңістікті толтыру қисығына қараңыз). Яғни,

Ең кіші шексіз кардинал сан — (алеф нөл). Екінші кішісі — (алеф бір). Континуум гипотезасы, -ң және -ң арасында кардиналдығы қатаң түрде болатын жиын жоқ деп мәлімдейді, яғни . Бұл гипотезаның шындығы немесе жалғандығы шешілмейді және таңдау аксиомасы бар кеңінен қолданылатын Зермело-Фраенкель жиын теориясы (ZFC) шеңберінде дәлелденбейді.

Есепке алынбайтындық

Георг Кантор шексіз жиынтықтардың мөлшерін салыстыру үшін кардиналдық ұғымын енгізді. Ол нақты сандар жиынының санауға келмейтін шексіз екенін көрсетті. Яғни, нақты сандардың кардиналдығы, табиғи сандардың кардиналдығынан қатаң үлкен:

Іс жүзінде, бұл нақты сандардың бүтін сандардан қатаң артық екенін білдіреді. Кантор бұл мәлімдемені бірнеше әртүрлі тәсілмен дәлелдеді. Осы тақырып бойынша толық ақпарат алу үшін Кантордың бірінші санаусыздық дәлелі мен Кантордың диагональдық аргументіне жүгініңіз.

Кардиналдық теңдіктер

Кантор теоремасын дәлелдеу үшін Кантор диагональдық аргументінің бір түрін қолдануға болады, ол кез келген жиынның кардиналдығы оның қуат жиынының кардиналдығынан қатаң түрде кем екенін көрсетеді. Яғни, (және табиғи сандардың қуат жиыны санауға келмейтін). Шындығында, анықтама бойынша, -ның кардиналдығы тең. Бұл, саналатын шексіз жиынның ішкі жиындықтары мен нақты сандар арасында екі бағытта да бір-бірге сәйкестік орнату арқылы және Кантор-Бернштейн-Шрёдер теоремасын қолдану арқылы көрсетілуі мүмкін, соған сәйкес екі жиынның екі бағытта да бір-бірге сәйкестігі болса, олардың кардиналдығы бірдей болады. Бір бағытта, нақты сандар Дедекинд кесулерімен, рационал сандар жиындарымен теңестірілуі мүмкін. Яғни, гипотеза да, оның жоқтығы да осы аксиомалармен үйлесімді. Шындығында, әрбір нөлден өзгеше табиғи сан үшін теңдік = ZFC-ге тәуелді емес (жағдай континуум гипотезасы). Бұл көптеген басқа алефтер үшін де дұрыс, бірақ кейбір жағдайларда, теңдік Кониг теоремасының кофиналдық негізінде жоққа шығарылуы мүмкін (мысалы, ). Атап айтқанда, ол немесе , бірінші санауға келмейтін ординал бола алады, сондықтан ол ізбасар кардинал немесе лимит кардинал, және реттелі кардинал немесе жеке кардинал болуы мүмкін.

Континуумның кардиналдылығы бар жиынтықтар

Математикада зерттелетін көптеген жиынтықтардың кардиналдылығы тең болады. Көбінесе кездесетін мысалдар: