Введение

Кардинальность множества действительных чисел
В теории множеств кардинальность континуума — это кардинальность или "мощность" множества действительных чисел, иногда называемого континуумом. Это бесконечное кардинальное число и обозначается 𝔠 (строчной фрактурой "c") или <math>.

Действительные числа более многочисленны, чем натуральные числа. Более того, множество действительных чисел имеет такое же количество элементов, как и множество степеней множества натуральных чисел. Символически, если кардинальность множества натуральных чисел обозначается ℵ₀, то кардинальность континуума равна 2<sup>ℵ₀</sup>.

Это было доказано Георгом Кантором в его доказательстве неисчислимости 1874 года, в рамках его новаторского исследования различных бесконечностей. Неравенство было позже сформулировано более просто в его диагональном аргументе 1891 года. Кантор определил кардинальность с точки зрения биективных функций: два множества имеют одинаковую кардинальность, если и только если между ними существует биекция. Между любыми двумя действительными числами a < b, как бы близки они ни были друг к другу, всегда существует бесконечно много других действительных чисел, и Кантор показал, что их количество равно количеству элементов во всем множестве действительных чисел. Иными словами, открытый интервал (a, b) равномощен множеству действительных чисел. Это также верно для ряда других бесконечных множеств, таких как любое n-мерное евклидово пространство (см. кривую, заполняющую пространство). То есть,

Наименьшее бесконечное кардинальное число — ℵ₀ (алеф-нуль). Второе по величине — ℵ₁ (алеф-один). Гипотеза континуума утверждает, что не существует множеств, кардинальность которых строго между ℵ₀ и 2<sup>ℵ₀</sup>, что означает, что ℵ₁ = 2<sup>ℵ₀</sup>. Истинность или ложность этой гипотезы неразрешима и не может быть доказана в рамках широко используемой теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Недопустимость

Георг Кантор ввел понятие кардинальности для сравнения размеров бесконечных множеств. Он показал, что множество действительных чисел несчетно бесконечно. То есть, кардинальность множества действительных чисел строго больше кардинальности множества натуральных чисел, :

На практике это означает, что существует строго больше действительных чисел, чем целых чисел. Кантор доказал это утверждение несколькими различными способами. Более подробную информацию об этом можно найти в первом доказательстве неисчислимости Кантора и аргументе Кантора по диагонали.

Кардинальные равенства

Вариант диагонального аргумента Кантора может быть использован для доказательства теоремы Кантора, которая утверждает, что кардинальность любого множества строго меньше кардинальности его множества степеней. То есть, (и, следовательно, множество степеней натуральных чисел несчётно). Фактически, кардинальность , по определению, равна . Это можно показать, предоставив взаимно однозначные отображения в обоих направлениях между подмножествами счётного бесконечного множества и действительными числами, и применив теорему Кантора — Бернштейна — Шредера, согласно которой два множества, между которыми существуют взаимно однозначные отображения в обоих направлениях, имеют одинаковую кардинальность. В одном направлении действительные числа можно сопоставить с дедекиндовыми разрезами, то есть множествами рациональных чисел. Таким образом, и гипотеза, и её отрицание согласуются с этими аксиомами. На самом деле, для каждого ненулевого натурального числа n равенство = независимо от ZFC (в случае, когда выполняется гипотеза континуума). То же самое верно для большинства других алефов, хотя в некоторых случаях равенство можно исключить теоремой Кёнига на основании кофинальности (например, ). В частности, может быть либо , либо , где — первый несчётный ординал, так что это может быть либо кардинал-преемник, либо кардинал-предел, и либо регулярный кардинал, либо сингулярный кардинал.

Набор с кардинальностью континуума

Многие множества, изучаемые в математике, имеют кардинальность, равную. Вот несколько распространенных примеров: