Кіріспе

Ли тобы, Ли алгебрасы және дифференциалдық теңдеулерді зерттеу

Математикада математик Софус Ли (/l//iː/ ЛИ) дифференциалдық теңдеулерді интеграциялау, трансформация топтары және сфералардың жанасуы саласында зерттеулер бастады, бұл зерттеулер Ли теориясы деп аталды. Мысалы, соңғы тақырып – Ли сфералық геометриясы. Бұл мақалада оның трансформация топтарына қатысты көзқарасы қарастырылады, ол математиканың бір саласы болып табылады және Вильгельм Киллинг және Эли Картан еңбектерімен дамытылды. Ли теориясының негізі – Ли алгебраларын Ли топтарымен байланыстыратын экспоненциалдық бейнелеу, ол Ли тобы – Ли алгебрасы сәйкестігі деп аталады. Бұл тақырып дифференциалдық геометрияның бір бөлігі болып табылады, өйткені Ли топтары дифференциалданатын көптүрліліктер болып табылады. Ли топтары бірлікке (1) және бір параметрлі ішкі топтарға жүйкелген векторлар арқылы Ли алгебрасын құрайды. Ли тобының құрылымы оның алгебрасында жатыр, ал Ли алгебрасының құрылымы түбірлік жүйелер мен түбірлік деректер арқылы беріледі. Ли теориясы математикалық физикада ерекше пайдалы болды, өйткені ол стандартты трансформация топтарын сипаттайды: Галилей тобы, Лоренц тобы, Пуанкаре тобы және кеңістік-уақыттың конформдық тобы.

Тарих және қолданылу аясы

Ли теориясының алғашқы көріністері Софус Лидің 1888-1896 жылдар аралығында Фридрих Энгель мен Георг Шефферспен бірге жазған кітаптарында табылады. Лидің алғашқы жұмысындағы мақсат – үздіксіз топтар теориясын құру, Феликс Клейн мен Анри Пуанкаре еңбектерінде дамыған дискретті топтар теориясын толықтыру болды. Лидің бастапқы ойынша, бұл теория дифференциалдық теңдеулер теориясында қолданылуға тиіс еді. Галуа теориясы мен полиномдық теңдеулерге сүйене отырып, негізгі идея симметрияны зерттеу арқылы қарапайым дифференциалдық теңдеулердің барлық саласын біріктіретін теорияны құру болды. Тарихшы Томас В. Хокинстің сөзіне қарағанда, Ли теориясын қазіргі түріне келтірген Эли Картан болды: Лидің көптеген құнарлы идеялары болғанымен, оның теориясын кеңейтуге және қолдануға Картан басты жауапкершілікті алды, осылайша оны қазіргі математиканың маңызды құрауышына айналдырды. Вейлдің де көмегімен ол Киллингтің бастапқы алгебралық идеяларын жартылай жайлы Ли алгебраларының құрылымы мен бейнелеу теориясына дамытты, бұл қазіргі Ли теориясындағы маңызды рөл атқарады. Ли өзінің теориясын геометрияға қолдануды жоспарлағанмен, оны іске асырған Картан болды, мысалы, симметриялық және жалпыланған кеңістіктер теориясы арқылы, соның ішінде барлық қосымша құралдарды (қозғалмалы кадрлар, сыртқы дифференциалдық формалар және т.б.) қамтыды.

Өтіктің үш теоремасы

Өзгермелі топтар туралы еңбегінде Соф Ли өзінің атын иеленген топтар мен алгебраларға байланысты үш теореманы дәлелдеді. Бірінші теорема алгебраның негізін шексіз кішкентай түрлендірулер арқылы ашты.

Лай теориясының аспектілері

Жалғандықтар теориясы көбінесе классикалық сызықтық алгебралық топтарды зерттеуге негізделеді. Арнайы салалары: Вейл топтары, Коксетер топтары және құрылымдар. Классикалық тақырып Lie типіндегі топтарға дейін кеңейтілді. 1900 жылы Дэвид Гильберт Парижде өткен математиктердің халықаралық конгресінде өзінің бесінші мәселесімен жалғандықтар теориясымен айналысатын ғалымдарға үн қосты.

Ескертпелер мен сілтемелер

Джон А. Коулман (1989) "Барлық уақыттың ең ұлы математикалық мақаласы", "Математикалық интеллект" 11(3): 29–38.