Введение

Изучение групп Ли, алгебр Ли и дифференциальных уравнений

В математике математик Софус Ли (/l//iː/ ЛИ) положил начало направлениям исследований, включающим интегрирование дифференциальных уравнений, группы преобразований и контакт сфер, которые получили название теория Ли. Например, последняя область – геометрия сферы Ли. В данной статье рассматривается его подход к группам преобразований, являющийся одной из областей математики и разработанный Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном. Основой теории Ли является экспоненциальное отображение, связывающее алгебры Ли с группами Ли, называемое соответствием между группой Ли и алгеброй Ли. Эта область является частью дифференциальной геометрии, поскольку группы Ли являются дифференцируемыми многообразиями. Группы Ли развиваются из единичного элемента (1), а тангенциальные векторы к однопараметрическим подгруппам порождают алгебру Ли. Структура группы Ли заключена в её алгебре, а структура алгебры Ли выражается корневыми системами и корневыми данными. Теория Ли оказалась особенно полезной в математической физике, поскольку описывает стандартные группы преобразований: группу Галилея, группу Лоренца, группу Пуанкаре и конформную группу пространства-времени.

История и сфера применения

Ранние изложения теории Ли встречаются в книгах, написанных Софусом Ли совместно с Фридрихом Энгелем и Георгом Шеффером в период с 1888 по 1896 год. В ранних работах Ли идея заключалась в создании теории непрерывных групп, дополняющей теорию дискретных групп, развивавшуюся в теории модулярных форм благодаря работам Феликса Клейна и Анри Пуанкаре. Первоначальным применением, которое предусматривал Ли, была теория дифференциальных уравнений. По аналогии с теорией Галуа и полиномиальными уравнениями, основной целью было создание теории, способной объединить всю область обыкновенных дифференциальных уравнений посредством изучения симметрий. По мнению историка Томаса У. Хокинса, именно Эли Картан сформировал теорию Ли в том виде, в котором мы её знаем: хотя у Ли было множество плодотворных идей, именно Картан в основном отвечал за развитие и применение его теории, сделавшие её фундаментальным компонентом современной математики. Именно он, при некоторой поддержке Вейля, развил основополагающие, по сути алгебраические идеи Киллинга в теорию структуры и представлений полупростых алгебр Ли, играющую столь важную роль в современной теории Ли. И хотя Ли предвидел применение своей теории к геометрии, именно Картан реализовал это, например, посредством своих теорий симметричных и обобщённых пространств, включая весь сопутствующий аппарат (подвижные тройки, внешние дифференциальные формы и т.д.).

Три теоремы лжи

В своей работе по преобразовательным группам Софус Ли доказал три теоремы, связывающие группы и алгебры, названные в его честь. Первая теорема показывала базис алгебры посредством бесконечно малых преобразований.

Аспекты теории лжи

Теория Ли часто строится на изучении классических линейных алгебраических групп. Особые разделы включают группы Вейля, группы Коксетера и здания. Классическая область была расширена до групп типа Ли. В 1900 году Давид Гильберт поставил перед теоретиками Ли свою Пятую проблему, представленную на Международном математическом конгрессе в Париже.

Примечания и ссылки

Джон А. Коулман (1989) "Величайшая математическая работа всех времен", The Mathematical Intelligencer 11(3): 29–38.