Кіріспе
Ойын теориясындағы шешімдер тұжырымдамасы
In game theory, a Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) is a solution with Bayesian probability to a turn based game with incomplete information. More specifically, it is an equilibrium concept that uses Bayesian updating to describe player behavior in dynamic games with incomplete information. Perfect Bayesian equilibria are used to solve the outcome of games where players take turns but are unsure of the "type" of their opponent, which occurs when players don't know their opponent's preference between individual moves. A classic example of a dynamic game with types is a war game where the player is unsure whether their opponent is a risk taking "hawk" type or a pacifistic "dove" type. Perfect Bayesian Equilibria are a refinement of Bayesian Nash equilibrium (BNE), which is a solution concept with Bayesian probability for non turn based games. Any perfect Bayesian equilibrium has two components strategies and beliefs:
The strategy of a player in a given information set specifies his choice of action in that information set, which may depend on the history (on actions taken previously in the game). This is similar to a sequential game. The belief of a player in a given information set determines what node in that information set he believes the game has reached. The belief may be a probability distribution over the nodes in the information set, and is typically a probability distribution over the possible types of the other players. Formally, a belief system is an assignment of probabilities to every node in the game such that the sum of probabilities in any information set is 1. The strategies and beliefs also must satisfy the following conditions:
Sequential rationality: each strategy should be optimal in expectation, given the beliefs. Consistency: each belief should be updated according to the equilibrium strategies, the observed actions, and Bayes' rule on every path reached in equilibrium with positive probability. On paths of zero probability, known as off equilibrium paths, the beliefs must be specified but can be arbitrary. A perfect Bayesian equilibrium is always a Nash equilibrium.
Ойын теориясында, Кемел Бейес тепе-теңдігі (КБТ) — толық емес ақпаратпен кезекпен ойналатын ойынға Бейес ықтималдығымен байланысты шешім. Нақтырақ айтқанда, бұл тепе-теңдік тұжырымдамасы, Бейес жаңартуын пайдаланып, толық емес ақпаратпен динамикалық ойындардағы ойыншылардың мінез-құлқын сипаттайды. Кемел Бейес тепе-теңдігі ойыншылар кезекпен ойнайтын, бірақ қарсыласының "типін" білмейтін ойынның нәтижесін анықтау үшін қолданылады, мұндай жағдай ойыншылар қарсыласының жекелеген әрекеттерге қатыстығын білмейтін кезде туындайды. Типтері бар динамикалық ойынның классикалық мысалы — соғыс ойыны, онда ойыншы қарсыласының тәуекелге баратын "шолақ" типі ме, әлде бейбітшіл "көгершін" типі ме екеніне сенімді емес. Кемел Бейес тепе-теңдігі — Бейес-Нэш тепе-теңдігінің (БНТ) жетілдірілген түрі, ол кезексіз ойындар үшін Бейес ықтималдығымен байланысты шешімдер тұжырымдамасы болып табылады. Кез келген Кемел Бейес тепе-теңдігінің екі құрамы бар: стратегиялар және сенімдер.
In game theory, a Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) is a solution with Bayesian probability to a turn based game with incomplete information. More specifically, it is an equilibrium concept that uses Bayesian updating to describe player behavior in dynamic games with incomplete information. Perfect Bayesian equilibria are used to solve the outcome of games where players take turns but are unsure of the "type" of their opponent, which occurs when players don't know their opponent's preference between individual moves. A classic example of a dynamic game with types is a war game where the player is unsure whether their opponent is a risk taking "hawk" type or a pacifistic "dove" type. Perfect Bayesian Equilibria are a refinement of Bayesian Nash equilibrium (BNE), which is a solution concept with Bayesian probability for non turn based games. Any perfect Bayesian equilibrium has two components strategies and beliefs:
The strategy of a player in a given information set specifies his choice of action in that information set, which may depend on the history (on actions taken previously in the game). This is similar to a sequential game. The belief of a player in a given information set determines what node in that information set he believes the game has reached. The belief may be a probability distribution over the nodes in the information set, and is typically a probability distribution over the possible types of the other players. Formally, a belief system is an assignment of probabilities to every node in the game such that the sum of probabilities in any information set is 1. The strategies and beliefs also must satisfy the following conditions:
Sequential rationality: each strategy should be optimal in expectation, given the beliefs. Consistency: each belief should be updated according to the equilibrium strategies, the observed actions, and Bayes' rule on every path reached in equilibrium with positive probability. On paths of zero probability, known as off equilibrium paths, the beliefs must be specified but can be arbitrary. A perfect Bayesian equilibrium is always a Nash equilibrium.
Ойыншының берілген ақпарат жиынтығындағы стратегиясы — ол ақпарат жиынтығындағы әрекеттерді таңдауын анықтайды, бұл тарихқа (ойында бұрын жасалған әрекеттерге) байланысты болуы мүмкін. Бұл жүйелі ойынға ұқсас. Ойыншының берілген ақпарат жиынтығына деген сенімі — ойынның қандай түйінге жеткенін анықтайды. Сенім — ақпарат жиынтығындағы түйіндер бойынша ықтималдық таралуы болуы мүмкін, әдетте басқа ойыншылардың ықтимал түрлеріне қатысты ықтималдық таралуы болып табылады. Формальды түрде сенім жүйесі — ойынның әрбір түйініне ықтималдықтарды тағайындау, яғни кез келген ақпарат жиынтығындағы ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең болуы керек. Стратегиялар мен сенімдер келесі шарттарды орындауы тиіс:
In game theory, a Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) is a solution with Bayesian probability to a turn based game with incomplete information. More specifically, it is an equilibrium concept that uses Bayesian updating to describe player behavior in dynamic games with incomplete information. Perfect Bayesian equilibria are used to solve the outcome of games where players take turns but are unsure of the "type" of their opponent, which occurs when players don't know their opponent's preference between individual moves. A classic example of a dynamic game with types is a war game where the player is unsure whether their opponent is a risk taking "hawk" type or a pacifistic "dove" type. Perfect Bayesian Equilibria are a refinement of Bayesian Nash equilibrium (BNE), which is a solution concept with Bayesian probability for non turn based games. Any perfect Bayesian equilibrium has two components strategies and beliefs:
The strategy of a player in a given information set specifies his choice of action in that information set, which may depend on the history (on actions taken previously in the game). This is similar to a sequential game. The belief of a player in a given information set determines what node in that information set he believes the game has reached. The belief may be a probability distribution over the nodes in the information set, and is typically a probability distribution over the possible types of the other players. Formally, a belief system is an assignment of probabilities to every node in the game such that the sum of probabilities in any information set is 1. The strategies and beliefs also must satisfy the following conditions:
Sequential rationality: each strategy should be optimal in expectation, given the beliefs. Consistency: each belief should be updated according to the equilibrium strategies, the observed actions, and Bayes' rule on every path reached in equilibrium with positive probability. On paths of zero probability, known as off equilibrium paths, the beliefs must be specified but can be arbitrary. A perfect Bayesian equilibrium is always a Nash equilibrium.
Кезекті рационалдылық: әрбір стратегия сенімді ескере отырып, күтілетін ең жақсы нәтижені беруі керек.
In game theory, a Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) is a solution with Bayesian probability to a turn based game with incomplete information. More specifically, it is an equilibrium concept that uses Bayesian updating to describe player behavior in dynamic games with incomplete information. Perfect Bayesian equilibria are used to solve the outcome of games where players take turns but are unsure of the "type" of their opponent, which occurs when players don't know their opponent's preference between individual moves. A classic example of a dynamic game with types is a war game where the player is unsure whether their opponent is a risk taking "hawk" type or a pacifistic "dove" type. Perfect Bayesian Equilibria are a refinement of Bayesian Nash equilibrium (BNE), which is a solution concept with Bayesian probability for non turn based games. Any perfect Bayesian equilibrium has two components strategies and beliefs:
The strategy of a player in a given information set specifies his choice of action in that information set, which may depend on the history (on actions taken previously in the game). This is similar to a sequential game. The belief of a player in a given information set determines what node in that information set he believes the game has reached. The belief may be a probability distribution over the nodes in the information set, and is typically a probability distribution over the possible types of the other players. Formally, a belief system is an assignment of probabilities to every node in the game such that the sum of probabilities in any information set is 1. The strategies and beliefs also must satisfy the following conditions:
Sequential rationality: each strategy should be optimal in expectation, given the beliefs. Consistency: each belief should be updated according to the equilibrium strategies, the observed actions, and Bayes' rule on every path reached in equilibrium with positive probability. On paths of zero probability, known as off equilibrium paths, the beliefs must be specified but can be arbitrary. A perfect Bayesian equilibrium is always a Nash equilibrium.
Тұрақтылық: әрбір сенім тепе-теңдік стратегияларына, байқалған әрекеттерге және оң ықтималдығы бар тепе-теңдікке жеткен әрбір жолдағы Бейес ережесіне сәйкес жаңартылуы керек. Тепе-теңдіктен тыс жолдар деп аталатын нөлдік ықтималдығы бар жолдарда сенімдер нақтылануы керек, бірақ кездейсоқ болуы мүмкін. Кемел Бейес тепе-теңдігі әрқашан Нэш тепе-теңдігі болып табылады.
In game theory, a Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) is a solution with Bayesian probability to a turn based game with incomplete information. More specifically, it is an equilibrium concept that uses Bayesian updating to describe player behavior in dynamic games with incomplete information. Perfect Bayesian equilibria are used to solve the outcome of games where players take turns but are unsure of the "type" of their opponent, which occurs when players don't know their opponent's preference between individual moves. A classic example of a dynamic game with types is a war game where the player is unsure whether their opponent is a risk taking "hawk" type or a pacifistic "dove" type. Perfect Bayesian Equilibria are a refinement of Bayesian Nash equilibrium (BNE), which is a solution concept with Bayesian probability for non turn based games. Any perfect Bayesian equilibrium has two components strategies and beliefs:
The strategy of a player in a given information set specifies his choice of action in that information set, which may depend on the history (on actions taken previously in the game). This is similar to a sequential game. The belief of a player in a given information set determines what node in that information set he believes the game has reached. The belief may be a probability distribution over the nodes in the information set, and is typically a probability distribution over the possible types of the other players. Formally, a belief system is an assignment of probabilities to every node in the game such that the sum of probabilities in any information set is 1. The strategies and beliefs also must satisfy the following conditions:
Sequential rationality: each strategy should be optimal in expectation, given the beliefs. Consistency: each belief should be updated according to the equilibrium strategies, the observed actions, and Bayes' rule on every path reached in equilibrium with positive probability. On paths of zero probability, known as off equilibrium paths, the beliefs must be specified but can be arbitrary. A perfect Bayesian equilibrium is always a Nash equilibrium.
2 сыйлық ойыны
Келесі мысалда PBE жиынтығы SPE және BNE жиынтығынан қатаң кішірек. Бұл жоғарыда аталған сыйлық ойынының нұсқасы, алушының пайдалылығы келесідей өзгерилсе: Егер жіберуші дос болса, алушының пайдалылығы 1 (қабылдаса) немесе 0 (қабылдамаса) болады. Егер жіберуші жау болса, алушының пайдалылығы 0 (қабылдаса) немесе 1 (қабылдамаса) болады. Бұл нұсқада қабылдау, қабылдаушы үшін әлсіз басым стратегия екенін ескеріңіз. 1-ші мысалға ұқсас, бөлінетін тепе-теңдік жоқ. Келесі әлеуетті жинақтау тепе-теңдіктерін қарастырайық: Жіберушінің стратегиясы: әрқашан беру. Алушының сенімі жаңартылмайды: олар әлі де априорлық ықтималдылыққа сенеді, жіберушінің дос болу ықтималдығы және жау болу ықтималдығы деп санайды. Олардың қабылдауынан алатын пайдасы әрқашан қабылдамауға қарағанда жоғары, сондықтан олар қабылдайды (құндылығына қарамастан). Бұл PBE, себебі бұл жіберуші де, қабылдаушы да үшін ең жақсы жауап. Жіберушінің стратегиясы: ешқашан бермеу. Егер сыйлық алғанда, алушы оны жіберген адамның дос екеніне сенетін болса, онда, кез келген санды қабылдауға болады. Бұл PBE емес, себебі жіберуші сыйлық беру арқылы 0-ден 1-ге дейін төлемін арттыра алады. Жіберушінің стратегиясы: ешқашан бермеу, ал алушының стратегиясы: қабылдамау. Бұл PBE емес, себебі қабылдаушының кез келген сеніміне сәйкес, бас тарту ең жақсы жауап емес. 3-ші нұсқаның Нэш тепе-теңдігі екеніне назар аударыңыз! Егер біз сенімдерді елемейтін болсақ, қабылдамау алушы үшін ең жақсы жауап деп саналуы мүмкін, себебі бұл олардың төлемдеріне әсер етпейді (сыйлық жоқ болғандықтан). Сонымен қатар, 3-ші нұсқа тіпті SPE, себебі ондағы жалғыз субойын – бүкіл ойын! Мұндай мүмкін емес тепе-теңдіктер толық ақпарат бар ойында да пайда болуы мүмкін, бірақ оларды субойындық кемелдік Nash тепе-теңдігін қолдану арқылы жоюға болады. Алайда, Байес ойынында көбінесе бірлік емес ақпарат жиынтығы болады және субойындарда толық ақпарат жиынтығы болуы керек болғандықтан, кейде тек бір ғана субойын болады – бүкіл ойын, сондықтан әр Нэш тепе-теңдігі тривиальді түрде субойындық кемелді болады. Егер ойынның бірден көп субойыны болса да, субойындық кемелділіктің ақпарат жиынтығын кесіп өтуге қабілетсіздігі, мүмкін емес тепе-теңдіктерді жоюға әкелуі мүмкін. Қорыта айтқанда, сыйлық ойынының бұл нұсқасында екі тепе-теңдік бар: немесе жіберуші әрқашан береді, ал алушы әрқашан қабылдайды, немесе жіберуші әрқашан бермейді, ал алушы әрқашан қабылдамайды. Олардың ішінде тек біріншісі ғана PBE; екіншісі PBE емес, себебі оны ешқандай сенім жүйесі қолдамайды.
If the sender is a friend, then the receiver's utility is 1 (if they accept) or 0 (if they reject). If the sender is an enemy, then the receiver's utility is 0 (if they accept) or 1 (if they reject). Note that in this variant, accepting is a weakly dominant strategy for the receiver. Similarly to example 1, there is no separating equilibrium. Let's look at the following potential pooling equilibria:
The sender's strategy is: always give. The receiver's beliefs are not updated: they still believe in the a priori probability, that the sender is a friend with probability and an enemy with probability Their payoff from accepting is always higher than from rejecting, so they accept (regardless of the value of ). This is a PBE it is a best response for both sender and receiver. The sender's strategy is: never give. Suppose the receiver's beliefs when receiving a gift is that the sender is a friend with probability , where is any number in Regardless of , the receiver's optimal strategy is: accept. This is NOT a PBE, since the sender can improve their payoff from 0 to 1 by giving a gift. The sender's strategy is: never give, and the receiver's strategy is: reject. This is NOT a PBE, since for any belief of the receiver, rejecting is not a best response. Note that option 3 is a Nash equilibrium! If we ignore beliefs, then rejecting can be considered a best response for the receiver, since it does not affect their payoff (since there is no gift anyway). Moreover, option 3 is even a SPE, since the only subgame here is the entire game! Such implausible equilibria might arise also in games with complete information, but they may be eliminated by applying subgame perfect Nash equilibrium. However, Bayesian games often contain non singleton information sets and since subgames must contain complete information sets, sometimes there is only one subgame—the entire game—and so every Nash equilibrium is trivially subgame perfect. Even if a game does have more than one subgame, the inability of subgame perfection to cut through information sets can result in implausible equilibria not being eliminated. To summarize: in this variant of the gift game, there are two SPEs: either the sender always gives and the receiver always accepts, or the sender always does not give and the receiver always rejects. From these, only the first one is a PBE; the other is not a PBE since it cannot be supported by any belief system.
Тағы да мысалдар
Қосымша мысалдар үшін, сигнал беру ойыны#Мысалдар бөлімін қараңыз. Тағы да мысалдар үшін қараңыз. Бұл тұжырымды Покерде Лориенте мен Диез (2023) жақында қолданды.
Көп сатылы ойындардағы PBE
Көп кезеңді ойын – бірінен соң бірі ойналатын бір уақыттағы ойындар тізбегі. Бұл ойындар бірдей (мысалы, қайталама ойындарда) немесе әртүрлі болуы мүмкін.
Қоғамдық игілік үшін қайталанған аңшылық
Келесі ойын – еркін мінгіш проблемасының қарапайым моделі. Екі ойыншы бар, олардың әрқайсысы қоғамдық игілікті құруға немесе құрмауға қабілетті. Қоғамдық игілік құрылса, әр ойыншы 1 ұтып алады, ал құрылмаса – 0 ұтып алады; сонымен қатар, егер ойыншы қоғамдық игілікті құрса, олар белгілі бір шығынды төлеуі керек. Шығындар жеке ақпарат болып табылады, әр ойыншы өз шығынын біледі, бірақ екінші ойыншының шығынын білмейді. Тек әр шығынның белгілі бір ықтималдық таралымынан тәуелсіз түрде кездейсоқ алынатыны белгілі. Бұл ойынды Байес ойынына айналдырады. Бір кезеңдік ойында әр ойыншы өз шығыны құрылыстан күтілетін пайдадан кем болған жағдайда ғана құрайды. Құрылыстан күтілетін пайда – екінші ойыншының құрмауының ықтималдығына тең. Тепе-теңдікте әр ойыншы үшін шекті шығын бар, егер ойыншының шығыны осы шектен төмен болса ғана, ол үлес қосады. Бұл шекті шығын ойыншылардың шығындарының ықтималдық таралымына сүйене отырып есептеледі. Мысалы, егер шығындар біркелкі таратылған болса, онда екі ойыншының да шекті шығыны 2/3 болатын симметриялық тепе-теңдік болады. Яғни, шығыны 2/3 пен 1 арасында болатын ойыншы, оның шығыны пайдадан төмен болса да, екінші ойыншының үлес қосуы мүмкін болғандықтан үлес салмайды. Енді, осы ойын екі рет қайталанады делік. Екі ойын тәуелсіз, яғни әр күні ойыншылар бір мезгілде сол күні қоғамдық игілікті құруды шешеді, егер сол күні игілік құрылса 1 сыйақы алады және сол күні құрған жағдайда өз шығындарын төлейді. Ойынның жалғыз байланысы – ойыншылардың бірінші күні ойнауы арқылы олардың шығындары туралы белгілі бір ақпаратты ашуы мүмкін, және бұл ақпарат екінші күні ойнауға әсер етуі мүмкін. Біз симметриялық PBE іздеп отырмыз. Бірінші күні екі ойыншының да шекті шығыны болсын (яғни, бірінші күні әр ойыншы өз шығыны ең көп болған жағдайда ғана құрайды). Есептеу үшін біз кері қарай жұмыс істеп, ойыншылардың екінші күнгі әрекеттерін талдаймыз. Олардың әрекеттері тарихқа байланысты (= бірінші күнгі екі әрекет), және үш мүмкіндік бар: Бірінші күні ешбір ойыншы құрмады. Енді екі ойыншы да қарсыласының шығыны жоғары екенін біледі, олар өз сенімдерін сәйкесінше жаңартады және қарсыласының екінші күні құру ықтималдығы төмен деген қорытындыға келеді. Сондықтан олар өздерінің шекті шығындарын арттырады, ал екінші күнгі шекті шығын болады. Бірінші күні екі ойыншы да құрды. Енді екі ойыншы да қарсыласының шығыны төмен екенін біледі, олар өз сенімдерін сәйкесінше жаңартады және қарсыласының екінші күні құру ықтималдығы жоғары деген қорытындыға келеді. Сондықтан олар шекті шығынды төмендетеді, ал екінші күнгі шекті шығын болады. Бірінші күні дәл бір ойыншы құрды; мысалы, бірінші ойыншы. Енді бірінші ойыншының шығыны төмен, ал екінші ойыншының шығыны жоғары екені белгілі. Тепе-теңдікте екінші күнгі әрекеттер бірінші күнгі әрекеттермен бірдей болады – бірінші ойыншы құрайды, ал екінші ойыншы құрмайды. Осы жағдайлардың әрқайсысында «шекті ойыншының» (шығыны дәл шекті шығынға тең ойыншының) күтілетін пайдасын есептеуге болады. Шекті ойыншы үлес қосу мен үлес қоспаудың арасында бейтарап болу керек болғандықтан, бірінші күнгі шекті шығынды есептеуге болады. Бұл шектің бір кезеңдік ойын шегінен төмен екені анықталды. Яғни, екі кезеңдік ойында ойыншылар бір кезеңдік ойынға қарағанда құруға азырақ дайын. Бұл себебі, ойыншы бірінші күні үлес қоспаса, ол екінші ойыншыға өзінің шығыны жоғары екенін сездіреді, және бұл екінші ойыншыны екінші күні үлес қосуға ынталандырады.
In day 1, no player built. So now both players know that their opponent's cost is above They update their belief accordingly, and conclude that there is a smaller chance that their opponent will build in day 2. Therefore, they increase their threshold cost, and the threshold cost in day 2 is In day 1, both players built. So now both players know that their opponent's cost is below They update their belief accordingly, and conclude that there is a larger chance that their opponent will build in day 2. Therefore, they decrease their threshold cost, and the threshold cost in day 2 is In day 1, exactly one player built; suppose it is player 1. So now, it is known that the cost of player 1 is below and the cost of player 2 is above There is an equilibrium in which the actions in day 2 are identical to the actions in day 1 player 1 builds and player 2 does not build. It is possible to calculate the expected payoff of the "threshold player" (a player with cost exactly ) in each of these situations. Since the threshold player should be indifferent between contributing and not contributing, it is possible to calculate the day 1 threshold cost It turns out that this threshold is lower than the threshold in the one stage game. This means that, in a two stage game, the players are less willing to build than in the one stage game. Intuitively, the reason is that, when a player does not contribute in the first day, they make the other player believe their cost is high, and this makes the other player more willing to contribute in the second day.
Сатып алуды асырып салу
Ашық дауыспен ағылшын аукционында, ұсынушылар ағымдағы бағаны кішігірім қадамдармен көтере алады (мысалы, әр жолы 1 доллар). Дегенмен, көбінесе секіріп ұсыну кездеседі, онда кейбір ұсынушылар ағымдағы бағаны ең төменгі өсімнен әлдеқайда жоғары көтереді. Мұның себебі, бұл басқа ұсынушыларға сигнал беруге мүмкіндік береді. Әрбір ұсынушының құны белгілі бір шектен жоғары болған жағдайда ғана секіріп ұсынуға келісетін тепе-теңдік жағдайы бар. Толығырақ Jump bidding#signaling бөлімін қараңыз.