Стаккельберг моделі: көшбасшылық және ізбасарлық стратегиясы

Кіріспе

Экономикалық модель

Стакельберг көшбасшылық моделі – экономикадағы стратегиялық ойын, онда көшбасшы фирма бірінші болып қимылдайды, ал одан кейін ізбасар фирмалар тікелей оның қозғалысын бақылап, өздерінің қимылдарын жасайды (сондықтан, оны кейде «көшбасшы-ізбасар ойыны» деп атайды). Ол неміс экономисі Генрих Фрайхер фон Стакельбергтің құрметіне аталған, ол 1934 жылы «Marktform und Gleichgewicht» [Нарық құрылымы және тепе-теңдік] еңбегінде бұл модельді сипаттаған. Ойын теориясы тұрғысынан, осы ойынның қатысушылары – көшбасшы және ізбасар, олар өндіріс көлемі бойынша бәсекелеседі. Стакельберг көшбасшысы кейде «Нарық көшбасшысы» деп аталады. Стакельберг тепе-теңдігін сақтау үшін қосымша шарттар бар. Көшбасшы, ізбасардың оның қимылын алдын ала байқағанын білуі керек. Ізбасардың болашақта Стакельберг емес көшбасшының қимылына міндеттеме беруге мүмкіндігі болмауы керек, және көшбасшы мұны білуі керек. Шындығында, егер «ізбасар» Стакельберг көшбасшысының қимылына міндеттеме бере алса және «көшбасшы» мұны білсе, көшбасшының ең жақсы жауабы – Стакельберг ізбасарының қимылын жасау болар еді. Фирмалар, егер біреуі бірінші болып қимылдауға мүмкіндік беретін артықшылыққа ие болса, Стакельберг бәсекелестігіне қатыса алады. Жалпы алғанда, көшбасшы міндеттеме беру қабілетіне ие болуы керек. Бірінші болып байқалатын қимыл жасау – міндеттеме берудің ең айқын тәсілі: көшбасшы бір рет қимыл жасағаннан кейін, оны кері қайтара алмайды – ол осы қимылға міндетті. Бірінші болып қимылдау мүмкін, егер көшбасшы өнеркәсіптегі монополия болса және ізбасар жаңа қатысушы болса. Артық қуаттылықты ұстау – міндеттеме берудің тағы бір тәсілі.

Экономикалық талдау

Стекльберг көшбасшы-оқушы моделін талдау үшін кеңейтілген формадағы бейнелеу жиі қолданылады. «Шешім ағашы» деп те аталатын бұл модель, Стакельберг ойынында екі фирманың да нәтижелері мен ұтыстарының үйлесімін көрсетеді. Сол жақтағы суретте Стакельберг ойыны кеңейтілген формада бейнеленген. Ұтыстар оң жақта көрсетілген. Бұл мысал өте қарапайым. Негізгі шығындар құрылымы тек шекті шығындарды қамтиды (тұрақты шығындар жоқ). Сұраныс функциясы сызықтық және сұраныстың бағаға икемділігі 1-ге тең. Дегенмен, бұл көшбасшының артықшылығын көрсетеді. Оқушы өзінің ұтысын барынша арттыруды қалайды. Бірінші реттік туындыны алып, оны нөлге теңестіру (максималдау үшін) келесі мәнді береді: . Көшбасшы өзінің ұтысын барынша арттыруды қалайды. Алайда, тепе-теңдікте ол оқушының жоғарыда көрсетілгендей таңдайтынын біледі. Сондықтан көшбасшы өзінің ұтысын арттыруды қалайды (оқушының ең жақсы жауап функциясын қою арқылы). Дифференциалдау арқылы ең жоғары ұтыс келесідей беріледі: Бұл мәнді оқушының ең жақсы жауап функциясына қойсақ, егер фирмалардың шекті шығындары тең болса (яғни көшбасшының біріншілік қадамынан басқа нарықта ешқандай артықшылығы болмаса) және әсіресе, көшбасшы 2000 бірлік, ал оқушы 1000 бірлік өндіретін болады. Бұл көшбасшыға екі миллион, ал оқушыға бір миллион пайда (ұтыс) әкеледі. Тек бірінші болып қимыл жасағандықтан, көшбасшы оқушыдан екі есе көп пайда табады. Алайда, Корноттың пайдасы мұнда әрқайсысына 1,78 миллионды құрайды (дәлірек айтқанда, әрқайсысына ), сондықтан көшбасшы көп пайда тапқан жоқ, бірақ оқушы ұтылып қалды. Дегенмен, бұл нақты мысал. Стакельберг көшбасшысы Корноттың пайдасынан асып түсетін үлкен пайдаға ие болуы мүмкін, тіпті монополиялық пайдаға жақындауы да мүмкін (мысалы, егер көшбасшы жақсы өндірістік функцияға байланысты үлкен шығындар құрылымымен артықшылыққа ие болса). Сондай-ақ, кейде оқушы көшбасшыдан гөрі көбірек пайда табады, бірақ бұл тек оның шығындары әлдеқайда төмен болғандықтан ғана мүмкін. Бұл мінез-құлық фирмалар асимметриялық болған жағдайда да дуополиялық нарықтарда тұрақты түрде жұмыс істейді.

An extensive form representation is often used to analyze the Stackelberg leader follower model. Also referred to as a “decision tree”, the model shows the combination of outputs and payoffs both firms have in the Stackelberg game. The image on the left depicts in extensive form a Stackelberg game. The payoffs are shown on the right. This example is fairly simple. There is a basic cost structure involving only marginal cost (there is no fixed cost). The demand function is linear and price elasticity of demand is 1. However, it illustrates the leader's advantage. The follower wants to choose to maximise its payoff Taking the first order derivative and equating it to zero (for maximisation) yields
as the maximum value of
The leader wants to choose to maximise its payoff However, in equilibrium, it knows the follower will choose as above. So in fact the leader wants to maximise its payoff (by substituting for the follower's best response function). By differentiation, the maximum payoff is given by Feeding this into the follower's best response function yields Suppose marginal costs were equal for the firms (so the leader has no market advantage other than first move) and in particular The leader would produce 2000 and the follower would produce 1000. This would give the leader a profit (payoff) of two million and the follower a profit of one million. Simply by moving first, the leader has accrued twice the profit of the follower. However, Cournot profits here are 1.78 million apiece (strictly, apiece), so the leader has not gained much, but the follower has lost. However, this is example specific. There may be cases where a Stackelberg leader has huge gains beyond Cournot profit that approach monopoly profits (for example, if the leader also had a large cost structure advantage, perhaps due to a better production function). There may also be cases where the follower actually enjoys higher profits than the leader, but only because it, say, has much lower costs. This behaviour consistently work on duopoly markets even if the firms are asymmetrical.

Қауымның сенімді және сенімді емес қауіптері

Егер көшбасшы өзінің тепе-теңдік мөлшерін таңдағаннан кейін, ізбасар тепе-теңдіктен ауытқып, оңтайлы емес мөлшерді таңдаса, ол өзіне ғана зиян келтірмейді, сонымен қатар көшбасшыға да зиян келтіре алады. Егер ізбасар өзінің ең жақсы жауабынан әлдеқайда үлкен мөлшерді таңдаса, нарықтық баға төмендеп, көшбасшының пайдасы, мүмкін, Курно деңгейіндегі пайдадан да төмен болады. Осы жағдайда, ойын басталғанға дейін, ізбасар көшбасшыға егер көшбасшы Курно тепе-теңдік мөлшерін таңдамаса, көшбасшының пайдасына зиян келтіретін ауытқу мөлшерін таңдайтынын хабарлай алады. Өйткені, тепе-теңдікте көшбасшы таңдаған мөлшер оңтайлы болады, егер ізбасар да тепе-теңдікте ойнаса. Дегенмен, көшбасшы қауіпсіздікте. Көшбасшы өзінің тепе-теңдік мөлшерін таңдағаннан кейін, ізбасардың ауытқуына себеп жоқ, себебі ол да зиян шегеді. Көшбасшы таңдағаннан кейін, ізбасар тепе-теңдік жолымен ойнағанда жақсы жағдайда болады. Сондықтан, ізбасардың мұндай қауіп көрсетуі сенімді болмайды. Алайда, (шешілмейтін) қайталамалы Стакельберг ойынында, ізбасар келесі кезеңде көшбасшыны жазалау стратегиясын қолдануы мүмкін, егер көшбасшы ағымдағы кезеңде оңтайлы емес стратегияны таңдаса. Бұл қауіп сенімді болуы мүмкін, себебі ізбасар келесі кезеңде жазалау арқылы көшбасшының одан кейін Курно мөлшерін таңдауын қамтамасыз етуі мүмкін.

Стакельберг пен Курноның салыстырмалы көрсеткіші

Стакельберг пен Курно модельдері ұқсас, себебі екеуінде де бәсекелестік санына қатысты. Дегенмен, көрініп тұрғандай, бірінші қадам Стакельбергтегі көшбасшыға маңызды артықшылық береді. Стакельберг ойынында толық ақпараттың маңызды болжамы бар: ізбасар көшбасшы таңдаған санды міндетті түрде байқауы керек, әйтпесе ойын Курно моделіне дейін төмендейді. Ақпарат жеткіліксіз болған жағдайда жоғарыда сипатталған қауіп-қорқытулар сенімді болуы мүмкін. Егер ізбасар көшбасшының қадамын байқамаса, онда ізбасар үшін, мысалы, Курно деңгейіндегі санды таңдау енді иррационалды емес (іс жүзінде, бұл тепе-теңдік әрекеті). Алайда, ақпараттың толық болмауы және ізбасардың көшбасшының қадамын байқамауы керек, себебі көшбасшы қадам жасағаннан кейін, мүмкіндігі болса, ізбасар байқамауының қажеті жоқ. Егер ол байқай алатын болса, оңтайлы шешім қабылдау үшін байқайды. Ізбасардың, тіпті мүмкіндігі болса да байқамайтынын айту арқылы жасаған кез келген қауіп-қорқыту жоғарыда айтылғандар сияқты сенімсіз болады. Бұл – ойыншыға артық ақпараттың зиян келтіруінің мысалы. Курно бәсекелестігінде ойынның бір уақытта өтуі (білімнің жеткіліксіздігі) ешбір ойыншының (ceteris paribus) кемістікке ұшырауына себеп болады.

Ойын теориясы бойынша ойлар

Жоғарыда айтылғандай, басшылық ойынындағы толық емес ақпарат Курно бәсекесіне келеді. Дегенмен, кейбір Курно стратегиялық профильдері Нэш тепе-теңдігі ретінде сақталады, бірақ субойынның кемелділігі тұжырымдамасын қолдану арқылы (жоғарыда сипатталғандай) сенімсіз қауіп ретінде жойылуы мүмкін. Шын мәнінде, Курно стратегиялық профилінің Стакельберг ойынында Нэш тепе-теңдігі болуы, оның субойынның кемелділігіне кедергі келтіреді. Стакельберг ойынын қарастырайық (яғни, Стакельберг тепе-теңдігін сақтау үшін жоғарыда сипатталған талаптарға жауап беретін ойын), онда қандай да бір себеппен, көшбасшы қандай әрекет жасаса да, ізбасар Курно көлемін таңдайды деп санайды (мысалы, көшбасшы ізбасардың рационалды еместігіне сенеді). Егер көшбасшы Стакельберг әрекетін таңдаса, (оның ойынша) ізбасар Курно ойнайды. Сондықтан көшбасшыға Стакельберг ойнау тиімді емес. Шын мәнінде, оның ең жақсы жауабы (Курно тепе-теңдігінің анықтамасы бойынша) – Курно көлемін ойнау. Осыны істегеннен кейін, ізбасардың ең жақсы жауабы – Курно ойнау. Келесі стратегиялық профильдерді қарастырайық: көшбасшы Курно ойнайды; егер көшбасшы Курно ойнаса, ізбасар Курно ойнайды, ал егер көшбасшы Стакельберг ойнаса, ізбасар Стакельберг ойнайды, ал егер көшбасшы басқа нәрсе ойнаса, ізбасар кездейсоқ стратегияны таңдайды (осылайша бұл бірнеше профильдерді сипаттайды). Бұл профиль – Нэш тепе-теңдігі. Жоғарыда айтылғандай, тепе-теңдік жолындағы ойын – ең жақсы жауапқа ең жақсы жауап болып табылады. Алайда, егер көшбасшы Стакельберг ойнаса, ізбасар Стакельберг ойнар еді, онда Курно ойнау көшбасшының ең жақсы жауабы болмас еді. Бұл жағдайда көшбасшының ең жақсы жауабы Стакельберг ойнау болар еді. Демек, осы профильді (немесе, дәлірек айтқанда, осы профильдерді) Нэш тепе-теңдігіне айналдыратын нәрсе – егер көшбасшы Стакельберг ойнаса, ізбасар Стакельберг емес ойнайды. Алайда, осы факт (егер көшбасшы Стакельберг ойнаса, ізбасар Стакельберг емес ойнайды) бұл профильдің көшбасшы Стакельберг ойнағаннан кейін басталатын субойынының Нэш тепе-теңдігі еместігін білдіреді (тепе-теңдік жолынан тыс субойын). Егер көшбасшы Стакельберг ойнаса, ізбасардың ең жақсы жауабы Стакельберг ойнау болады (сондықтан бұл субойында Нэш тепе-теңдігін қамтамасыз ететін жалғыз әрекет). Сондықтан стратегиялық профиль, яғни Курно, субойынның кемелділігіне жетпейді.

As mentioned, imperfect information in a leadership game reduces to Cournot competition. However, some Cournot strategy profiles are sustained as Nash equilibria but can be eliminated as incredible threats (as described above) by applying the solution concept of subgame perfection. Indeed, it is the very thing that makes a Cournot strategy profile a Nash equilibrium in a Stackelberg game that prevents it from being subgame perfect. Consider a Stackelberg game (i. e. one which fulfills the requirements described above for sustaining a Stackelberg equilibrium) in which, for some reason, the leader believes that whatever action it takes, the follower will choose a Cournot quantity (perhaps the leader believes that the follower is irrational). If the leader played a Stackelberg action, (it believes) that the follower will play Cournot. Hence it is non optimal for the leader to play Stackelberg. In fact, its best response (by the definition of Cournot equilibrium) is to play Cournot quantity. Once it has done this, the best response of the follower is to play Cournot. Consider the following strategy profiles: the leader plays Cournot; the follower plays Cournot if the leader plays Cournot and the follower plays Stackelberg if the leader plays Stackelberg and if the leader plays something else, the follower plays an arbitrary strategy (hence this actually describes several profiles). This profile is a Nash equilibrium. As argued above, on the equilibrium path play is a best response to a best response. However, playing Cournot would not have been the best response of the leader were it that the follower would play Stackelberg if it (the leader) played Stackelberg. In this case, the best response of the leader would be to play Stackelberg. Hence, what makes this profile (or rather, these profiles) a Nash equilibrium (or rather, Nash equilibria) is the fact that the follower would play non Stackelberg if the leader were to play Stackelberg. However, this very fact (that the follower would play non Stackelberg if the leader were to play Stackelberg) means that this profile is not a Nash equilibrium of the subgame starting when the leader has already played Stackelberg (a subgame off the equilibrium path). If the leader has already played Stackelberg, the best response of the follower is to play Stackelberg (and therefore it is the only action that yields a Nash equilibrium in this subgame). Hence the strategy profile which is Cournot is not subgame perfect.

Қолданбалар

Стакельберг концепциясы динамикалық Стакельберг ойындарына дейін дамытылды. Уақытты қосу арқылы статикалық ойындарда кездеспейтін құбылыстар табылды, мысалы, көшбасшының оптималдық принципін бұзу. Осы контексте қорғаушы (көшбасшы) ресурсты қорғау үшін стратегия жасайды, осылайша ресурс шабуылдаушының (ілесушінің) таңдаған стратегиясына қарамастан қауіпсіз болып қалады. Стакельберг дифференциалдық ойындары жеткізу тізбектері мен маркетингтік арналарды модельдеу үшін де қолданылады. Стакельберг ойындарының басқа да қолданыстары гетерогендік желілер, генетикалық жеке өмірге қатысты мәселелер, робототехника, автономды басқару, электр желілері және біріктірілген энергетикалық жүйелерді қамтиды.