Модель лидерства Штакельберга в экономике

Введение

Экономическая модель

Модель лидерства Стакельберга – это стратегическая игра в экономике, в которой лидирующая фирма ходит первой, а затем фирмы-последователи ходят последовательно (поэтому её иногда называют «игрой лидера и последователя»). Она названа в честь немецкого экономиста Генриха Фрайхерра фон Стакельберга, опубликовавшего в 1934 году труд «Marktform und Gleichgewicht» [Рыночная структура и равновесие], в котором описал данную модель. В терминах теории игр, игроками в этой игре являются лидер и последователь, которые конкурируют по объёму выпуска. Лидера Стакельберга иногда называют лидером рынка. Существуют дополнительные ограничения для поддержания равновесия Стакельберга. Лидер должен заранее знать, что последователь наблюдает за его действиями. Последователь не должен иметь возможности зафиксировать своё поведение, чтобы не играть по стратегии лидера, и лидер должен это знать. Действительно, если бы «последователь» мог зафиксировать стратегию лидера Стакельберга, а «лидер» знал бы об этом, лучшим ответом лидера было бы играть по стратегии последователя Стакельберга. Фирмы могут вступать в конкуренцию по модели Стакельберга, если одна из них обладает определённым преимуществом, позволяющим ей ходить первой. В более общем смысле, лидер должен обладать способностью к обязательствам. Ход первым, будучи наблюдаемым, – наиболее очевидный способ зафиксировать свои намерения: после того, как лидер сделал свой ход, он не может его отменить – он связан этим действием. Возможность хода первым может возникнуть, если лидер является действующей монополией в отрасли, а последователь – новым игроком. Наличие избыточных мощностей – ещё один способ зафиксировать свои обязательства.

Экономический анализ

Для анализа модели «лидер-последователь» Стакельберга часто используется представление в развернутой форме. Модель, также называемая «деревом решений», показывает комбинацию результатов и выигрышей обеих фирм в игре Стакельберга. На изображении слева представлена игра Стакельберга в развернутой форме, а выигрыши показаны справа. Этот пример довольно прост: существует базовая структура затрат, включающая только предельные издержки (фиксированных издержек нет). Функция спроса линейна, а ценовая эластичность спроса равна 1. Однако это иллюстрирует преимущество лидера. Последователь стремится выбрать такое значение, чтобы максимизировать свой выигрыш. Взяв первую производную и приравняв ее к нулю (для максимизации), получаем как максимальное значение . Лидер стремится выбрать такое значение, чтобы максимизировать свой выигрыш. Однако в равновесии он знает, что последователь выберет как указано выше. Следовательно, лидер на самом деле стремится максимизировать свой выигрыш (подставляя в функцию оптимального ответа последователя). Дифференцированием получаем, что максимальный выигрыш равен. Подставляя это значение в функцию оптимального ответа последователя, получаем. Предположим, что предельные издержки для обеих фирм одинаковы (следовательно, лидер не имеет преимущества на рынке, кроме первого хода), и в частности. Лидер произведет 2000 единиц, а последователь – 1000 единиц. Это принесет лидеру прибыль (выигрыш) в два миллиона, а последователю – один миллион. Просто сделав первый ход, лидер получил вдвое большую прибыль, чем последователь. Однако прибыль по модели Курно в данном случае составляет 1,78 миллиона на каждую фирму (в точности, на каждую фирму), поэтому лидер не получил значительной выгоды, а последователь потерял. Однако это относится к конкретному примеру. Могут быть случаи, когда лидер Стакельберга получает огромную прибыль, превышающую прибыль по модели Курно и приближающуюся к монопольной прибыли (например, если у лидера также есть значительное преимущество в структуре затрат, возможно, из-за более эффективной производственной функции). Также могут быть случаи, когда последователь фактически получает более высокую прибыль, чем лидер, но только потому, что у него, например, значительно ниже издержки. Такое поведение последовательно работает на рынках дуополии, даже если фирмы асимметричны.

An extensive form representation is often used to analyze the Stackelberg leader follower model. Also referred to as a “decision tree”, the model shows the combination of outputs and payoffs both firms have in the Stackelberg game. The image on the left depicts in extensive form a Stackelberg game. The payoffs are shown on the right. This example is fairly simple. There is a basic cost structure involving only marginal cost (there is no fixed cost). The demand function is linear and price elasticity of demand is 1. However, it illustrates the leader's advantage. The follower wants to choose to maximise its payoff Taking the first order derivative and equating it to zero (for maximisation) yields
as the maximum value of
The leader wants to choose to maximise its payoff However, in equilibrium, it knows the follower will choose as above. So in fact the leader wants to maximise its payoff (by substituting for the follower's best response function). By differentiation, the maximum payoff is given by Feeding this into the follower's best response function yields Suppose marginal costs were equal for the firms (so the leader has no market advantage other than first move) and in particular The leader would produce 2000 and the follower would produce 1000. This would give the leader a profit (payoff) of two million and the follower a profit of one million. Simply by moving first, the leader has accrued twice the profit of the follower. However, Cournot profits here are 1.78 million apiece (strictly, apiece), so the leader has not gained much, but the follower has lost. However, this is example specific. There may be cases where a Stackelberg leader has huge gains beyond Cournot profit that approach monopoly profits (for example, if the leader also had a large cost structure advantage, perhaps due to a better production function). There may also be cases where the follower actually enjoys higher profits than the leader, but only because it, say, has much lower costs. This behaviour consistently work on duopoly markets even if the firms are asymmetrical.

Достоверные и недостоверные угрозы со стороны последователя

Если после того, как лидер выбрал равновесное количество, последователь отклонится от равновесия и выберет некоторое неоптимальное количество, это не только навредит ему самому, но и может навредить лидеру. Если последователь выберет значительно большее количество, чем его оптимальный ответ, рыночная цена снизится, и прибыль лидера уменьшится, возможно, даже ниже уровня прибыли Курно. В этом случае последователь может объявить лидеру до начала игры, что если лидер не выберет равновесное количество Курно, последователь выберет отклоняющееся количество, которое нанесет ущерб прибыли лидера. В конечном счете, количество, выбранное лидером в равновесии, является оптимальным только в том случае, если последователь также играет по равновесию. Однако лидеру ничто не угрожает. Как только лидер выбрал равновесное количество, последователю было бы нерационально отклоняться от него, поскольку это навредило бы и ему самому. После того, как лидер сделал свой выбор, последователю выгоднее придерживаться равновесного пути. Следовательно, такая угроза со стороны последователя не была бы убедительной. Однако в (бессрочно) повторяемой игре Штакельберга последователь может принять стратегию наказания, угрожая наказать лидера в следующем периоде, если он не выберет неоптимальную стратегию в текущем периоде. Эта угроза может быть убедительной, поскольку последователю может быть рационально наказывать в следующем периоде, чтобы лидер впоследствии выбирал количества Курно.

Стакельберг по сравнению с Курно

Модели Штакельберга и Курно схожи, поскольку в обеих конкуренция ведется за объемы производства. Однако, как видно, первый ход дает лидеру в модели Штакельберга существенное преимущество. Важным предположением в игре Штакельберга также является наличие полной информации: последователь должен наблюдать за объемом производства, выбранным лидером, иначе игра сводится к модели Курно. При неполной информации вышеописанные угрозы могут быть достоверными. Если последователь не может наблюдать за ходом лидера, то для него уже не является иррациональным выбрать, например, объем производства, соответствующий равновесию Курно (фактически, это и будет равновесным действием). Однако, должно быть так, что информация неполна и последователь не может наблюдать за ходом лидера, поскольку, если бы он мог, было бы неразумно не наблюдать после хода лидера. Если же он может наблюдать, он это сделает, чтобы принять оптимальное решение. Любая угроза со стороны последователя, утверждающего, что он не будет наблюдать, даже если имеет такую возможность, столь же недостоверна, как и вышеперечисленные. Это пример того, как избыток информации может навредить игроку. В конкуренции Курно именно одновременность игры (несовершенство информации) приводит к тому, что ни один из игроков (при прочих равных условиях) не оказывается в невыгодном положении.

Теоретические соображения игры

Как уже упоминалось, несовершенная информация в игре на лидерство сводится к конкуренции Курно. Однако некоторые профили стратегий Курно поддерживаются как равновесия Нэша, но могут быть отброшены как неправдоподобные угрозы (как описано выше) при применении концепции решения подигрового совершенства. Фактически, именно то, что делает профиль стратегии Курно равновесием Нэша в игре Штакельберга, препятствует его подигровому совершенству. Рассмотрим игру Штакельберга (то есть игру, удовлетворяющую требованиям, описанным выше для поддержания равновесия Штакельберга), в которой лидер по какой-то причине полагает, что независимо от своих действий последователь выберет объем Курно (возможно, лидер считает последователя иррациональным). Если лидер выберет действие Штакельберга, он полагает, что последователь выберет объем Курно. Следовательно, лидеру не оптимально выбирать действие Штакельберга. На самом деле, его оптимальный ответ (по определению равновесия Курно) – выбрать объем Курно. Как только он это сделает, оптимальным ответом последователя будет выбор объема Курно. Рассмотрим следующие профили стратегий: лидер выбирает Курно; последователь выбирает Курно, если лидер выбирает Курно, и Штакельберг, если лидер выбирает Штакельберг; если лидер выбирает что-то другое, последователь выбирает произвольную стратегию (следовательно, это на самом деле описывает несколько профилей). Этот профиль является равновесием Нэша. Как было показано выше, на пути равновесия игра представляет собой оптимальный ответ на оптимальный ответ. Однако выбор Курно не был бы оптимальным ответом лидера, если бы последователь выбирал Штакельберг, если бы лидер выбирал Штакельберг. В этом случае оптимальным ответом лидера был бы выбор Штакельберга. Таким образом, то, что делает этот профиль (или, скорее, эти профили) равновесием Нэша (или, скорее, равновесиями Нэша), заключается в том, что последователь будет выбирать не Штакельберг, если лидер выберет Штакельберг. Однако сам этот факт (что последователь будет выбирать не Штакельберг, если лидер выберет Штакельберг) означает, что этот профиль не является равновесием Нэша в подигре, начинающейся после того, как лидер уже выбрал Штакельберг (подигре, отклоняющейся от пути равновесия). Если лидер уже выбрал Штакельберг, оптимальным ответом последователя будет выбор Штакельберга (и, следовательно, это единственное действие, которое дает равновесие Нэша в этой подигре). Следовательно, профиль стратегий, представляющий собой Курно, не является подигрово совершенным.

As mentioned, imperfect information in a leadership game reduces to Cournot competition. However, some Cournot strategy profiles are sustained as Nash equilibria but can be eliminated as incredible threats (as described above) by applying the solution concept of subgame perfection. Indeed, it is the very thing that makes a Cournot strategy profile a Nash equilibrium in a Stackelberg game that prevents it from being subgame perfect. Consider a Stackelberg game (i. e. one which fulfills the requirements described above for sustaining a Stackelberg equilibrium) in which, for some reason, the leader believes that whatever action it takes, the follower will choose a Cournot quantity (perhaps the leader believes that the follower is irrational). If the leader played a Stackelberg action, (it believes) that the follower will play Cournot. Hence it is non optimal for the leader to play Stackelberg. In fact, its best response (by the definition of Cournot equilibrium) is to play Cournot quantity. Once it has done this, the best response of the follower is to play Cournot. Consider the following strategy profiles: the leader plays Cournot; the follower plays Cournot if the leader plays Cournot and the follower plays Stackelberg if the leader plays Stackelberg and if the leader plays something else, the follower plays an arbitrary strategy (hence this actually describes several profiles). This profile is a Nash equilibrium. As argued above, on the equilibrium path play is a best response to a best response. However, playing Cournot would not have been the best response of the leader were it that the follower would play Stackelberg if it (the leader) played Stackelberg. In this case, the best response of the leader would be to play Stackelberg. Hence, what makes this profile (or rather, these profiles) a Nash equilibrium (or rather, Nash equilibria) is the fact that the follower would play non Stackelberg if the leader were to play Stackelberg. However, this very fact (that the follower would play non Stackelberg if the leader were to play Stackelberg) means that this profile is not a Nash equilibrium of the subgame starting when the leader has already played Stackelberg (a subgame off the equilibrium path). If the leader has already played Stackelberg, the best response of the follower is to play Stackelberg (and therefore it is the only action that yields a Nash equilibrium in this subgame). Hence the strategy profile which is Cournot is not subgame perfect.

Приложения

Концепция Стакельберга была расширена на динамические игры Стакельберга. С добавлением времени как фактора были обнаружены явления, не встречающиеся в статических играх, такие как нарушение принципа оптимальности лидером. В этом контексте защитник (лидер) разрабатывает стратегию для защиты ресурса, обеспечивающую его безопасность независимо от стратегии, выбранной атакующим (последователем). Дифференциальные игры Стакельберга также применяются для моделирования цепочек поставок и маркетинговых каналов. К другим областям применения игр Стакельберга относятся гетерогенные сети, защита генетической информации, робототехника, автономное управление, электросети и интегрированные энергетические системы.