Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикалық жиын теориясы жүйесі
System of mathematical set theory
Жиын теориясында, жартылай жиын – жиынның ішкі жиыны болып табылатын дұрыс класс. Зермело-Франкель жиын теориясының қалыпты негіздерінде, спецификация аксиомалық схемасының салдарынан жартылай жиынтар болуы мүмкін емес. Жартылай жиынтар теориясын чех математиктері Петр Вопенка және Петр Хаек (1972) ұсынды және дамытты. Ол фон Нейман-Бернайс-Гёдель жиын теориясының өзгертілген нұсқасына негізделген; стандартты NBG-де, жартылай жиынтардың болуына бөліну аксиомасы кедерес келтіреді. Жартылай жиынтар концепциясы балама жиын теориясын құруға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, Вопенканың Балама Жиын Теориясы (1979) жартылай жиын концепциясын аксиоматизациялайды және оны бірнеше қосымша принциптермен толықтырады. Жартылай жиынтарды бұлыңғыр шекаралары бар жиындарды бейнелеу үшін қолдануға болады. Новак (1984) жартылай жиынды бұлыңғыр жиындармен жуықтауды зерттеді, олар дәлсіздікті модельдеудің практикалық қолданылуы үшін көбінесе ыңғайлырақ.
In set theory, a semiset is a proper class that is a subclass of a set. In the typical foundations of Zermelo–Fraenkel set theory, semisets are impossible due to the axiom schema of specification. The theory of semisets was proposed and developed by Czech mathematicians Petr Vopěnka and Petr Hájek (1972). It is based on a modification of the von Neumann–Bernays–Gödel set theory; in standard NBG, the existence of semisets is precluded by the axiom of separation. The concept of semisets opens the way for a formulation of an alternative set theory. In particular, Vopěnka's Alternative Set Theory (1979) axiomatizes the concept of semiset, supplemented with several additional principles. Semisets can be used to represent sets with imprecise boundaries. Novák (1984) studied approximation of semisets by fuzzy sets, which are often more suitable for practical applications of the modeling of imprecision.
Вопенканың альтернативті жиынтық теориясы
Вопенканың "Альтернативті жиын теориясы" жарты жиынтар теориясының кейбір идеяларымен қатар, одан да радикалды өзгерістер енгізеді: мысалы, барлық жиындар "формалды" шекті, яғни AST-дегі жиындар жиындық формулалар үшін математикалық индукция заңын қанағаттандырады (дәлірек айтқанда: AST-нің жиындарға ғана қатысты аксиомалардан тұратын бөлігі Zermelo-Fraenkel (немесе ZF) жиын теориясына эквивалентті, онда шексіздік аксиомасы оның жоқтығымен алмастырылған). Дегенмен, осы жиындардың кейбіреулері жиын емес субкластарды қамтиды, бұл оларды Кантордың (ZF) шекті жиындарынан ерекшелендіреді және AST-де олар шексіз деп аталады.
Vopěnka's "Alternative Set Theory" builds on some ideas of the theory of semisets, but also introduces more radical changes: for example, all sets are "formally" finite, which means that sets in AST satisfy the law of mathematical induction for set formulas (more precisely: the part of AST that consists of axioms related to sets only is equivalent to the Zermelo–Fraenkel (or ZF) set theory, in which the axiom of infinity is replaced by its negation). However, some of these sets contain subclasses that are not sets, which makes them different from Cantor (ZF) finite sets and they are called infinite in AST.