Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Система математической теории множеств
System of mathematical set theory
В теории множеств полумножество — это собственный класс, являющийся подклассом множества. В типичных основаниях теории множеств Цермело — Френкеля полумножества невозможны из-за аксиоматической схемы спецификации. Теория полумножеств была предложена и разработана чешскими математиками Петром Вопенкой и Петром Гаеком (1972). Она основана на модификации теории множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя; в стандартной NBG существование полумножеств исключается аксиомой выделения. Концепция полумножеств открывает путь к формулированию альтернативной теории множеств. В частности, альтернативная теория множеств Вопенки (1979) аксиоматизирует концепцию полумножества, дополненную несколькими дополнительными принципами. Полумножества могут использоваться для представления множеств с нечеткими границами. Новак (1984) изучал приближение полумножеств нечеткими множествами, которые часто более подходят для практических приложений моделирования неопределенности.
In set theory, a semiset is a proper class that is a subclass of a set. In the typical foundations of Zermelo–Fraenkel set theory, semisets are impossible due to the axiom schema of specification. The theory of semisets was proposed and developed by Czech mathematicians Petr Vopěnka and Petr Hájek (1972). It is based on a modification of the von Neumann–Bernays–Gödel set theory; in standard NBG, the existence of semisets is precluded by the axiom of separation. The concept of semisets opens the way for a formulation of an alternative set theory. In particular, Vopěnka's Alternative Set Theory (1979) axiomatizes the concept of semiset, supplemented with several additional principles. Semisets can be used to represent sets with imprecise boundaries. Novák (1984) studied approximation of semisets by fuzzy sets, which are often more suitable for practical applications of the modeling of imprecision.
Альтернативная теория множеств Вопенки
"Альтернативная теория множеств" Вопенки опирается на некоторые идеи теории полумножеств, но также вводит более радикальные изменения: например, все множества являются "формально" конечными, что означает, что для множеств в AST выполняется закон математической индукции для формул теории множеств (точнее: часть AST, состоящая только из аксиом, относящихся к множествам, эквивалентна теории множеств Цермело — Фраенкеля (или ZF), в которой аксиома бесконечности заменена на её отрицание). Однако некоторые из этих множеств содержат подклассы, которые не являются множествами, что отличает их от канторовских (ZF) конечных множеств, и в AST они называются бесконечными.
Vopěnka's "Alternative Set Theory" builds on some ideas of the theory of semisets, but also introduces more radical changes: for example, all sets are "formally" finite, which means that sets in AST satisfy the law of mathematical induction for set formulas (more precisely: the part of AST that consists of axioms related to sets only is equivalent to the Zermelo–Fraenkel (or ZF) set theory, in which the axiom of infinity is replaced by its negation). However, some of these sets contain subclasses that are not sets, which makes them different from Cantor (ZF) finite sets and they are called infinite in AST.