Кіріспе
Векторлық операция
Сызықтық алгебрада екі координаталық вектордың сыртқы көбейтіндісі – матрица, оның әрбір мүшесі бірінші вектордың мүшесі мен екінші вектордың мүшесінің көбейтіндісінен тұрады. Егер екі координаталық вектордың өлшемдері n және m болса, олардың сыртқы көбейтіндісі n × m матрицасы болады. Көбірек жалпылаған түрде, екі тензор (сандардың көпөлшемді массивтері) берілген жағдайда, олардың сыртқы көбейтіндісі тензор болады. Тензорлардың сыртқы көбейтіндісі олардың тензорлық көбейтіндісі деп те аталады және тензорлық алгебраны анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Сыртқы көбейтінді мыналарға қарсы қойылады: нүктелік көбейтінді ("ішкі көбейтінді" ерекше жағдайы), ол координаталық векторлар жұбын кіріс ретінде қабылдап, скаляр шығарады; Кронэкер көбейтіндісі, ол матрицалар жұбын кіріс ретінде қабылдап, блок матрицасын шығарады; стандартты матрицалық көбейту.
The dot product (a special case of "inner product"), which takes a pair of coordinate vectors as input and produces a scalar
The Kronecker product, which takes a pair of matrices as input and produces a block matrix
Standard matrix multiplication
Сыртқы өнімнің дәрежесі
Егер u және v екеуі де нөлден өзгеше болса, онда uvT сыртқы көбейтінді матрицасының әрқашан 1 ранктік матрицасы болады. Шындығында, сыртқы көбейтіндінің бағандарының барлығы бірінші бағанға пропорционалды. Осылайша, олардың барлығы сол бір бағанға сызықтық тәуелді, демек матрицаның ранкі біреуге тең. ("Матрицалық ранг" "тензорлық реті" немесе "тензорлық дәрежесі"мен шатастырылмауы керек, оны кейде "ранг" деп те атайды.)
Анықтама (көшірме)
V және W екі векторлық кеңістік болсын. Вектордың сыртқы көбейтіндісі – бұл элемент . Егер V ішкі өнім кеңістігі болса, онда сыртқы көбейтіндіні V → W сызықтық бейнелеуі ретінде анықтауға болады. Бұл жағдайда, сызықтық бейнелеу V-дің жұп кеңістігінің (дуальдық кеңістік) мүшесі болып табылады, себебі ол векторды өзінің негізгі өрісіне сызықты түрде бейнелейді, ал ол өріс элементі болып табылады. Содан кейін V → W сыртқы көбейтіндісі былай беріледі:
If V is an inner product space, then it is possible to define the outer product as a linear map V → W. In this case, the linear map is an element of the dual space of V, as this maps linearly a vector into its underlying field, of which is an element. The outer product V → W is then given by
Бұл күрделі жағдайда 'v' конуатты транспозінің неге жиі қолданылатынын көрсетеді.
Бағдарламалау тілдерінде
Кейбір бағдарламалау тілдерінде екі аргументі бар функция f (немесе екілік оператор) берілген кезде, екі бірөлшемді массивтің – A және B – сыртқы көбейтіндісі f, C[i, j] = f(A[i], B[j]) шартымен екіөлшемді массив C болып табылады. Бұл синтаксистік тұрғыдан әртүрлі жолдармен көрсетіледі: APL-де – инфикстік екілік оператор ретінде ∘.f; J-де – постфикстік адверб ретінде f/; R-де – outer(A, B, f) функциясы немесе %o% арнайы операторы; Mathematica-да – Outer[f, A, B] ретінде. MATLAB-та осы көбейтінді үшін kron(A, B) функциясы қолданылады. Бұл көбінесе көпөлшемді аргументтерге және екі аргументтен артық аргументтерге де қатысты қолданылады. Python кітапханасы NumPy-де сыртқы көбейтіндіні np.outer функциясымен есептеуге болады. Керісінше, np.kron тік массивті (flat array) береді. Көпөлшемді массивтердің сыртқы көбейтіндісін np.multiply.outer арқылы есептеуге болады.
Қолданбалар
Сыртқы көбейту Кронекер көбейтуімен тығыз байланысты болғандықтан, Кронекер көбейтуінің кейбір қолданыстары сыртқы көбейтулерді пайдаланады. Мұндай қолданыстар кванттық теорияда, сигналдарды өңдеуде және кескіндерді қысуда кездеседі.
Спиннерлер
s, t, w, z ∈ 'C' болсын, осылайша (s, t) және (w, z) 'C'^(2) жиынында жатады. Осы екі кешенді вектордың сыртқы көбейтіндісі M(2, 'C') матрицасының, яғни 2 × 2 кешенді матрицалардың бір елеуі болады:
Осы матрицаның анықтамасы 1 = swtz − sztw = 0-ға тең, себебі 'C' коммутативті қасиетке ие. Үш өлшемді спинорлар теориясында осы матрицалар осы нөлдік қасиетіне байланысты изотроптық векторлармен байланыстырылады. Эли Картан бұл құрылымды 1937 жылы сипаттады, бірақ оны 1927 жылы Вольфганг Паули енгізгендіктен, M(2, 'C') Паули алгебрасы деп аталады.
Тұжырымдамалар
Сыртқы өнімдердің блокты формасы жіктеуде пайдалы. Тұжырымдамалық талдау – белгілі бір сыртқы өнімдерге негізделген зерттеу: вектордың құрамында тек нөлдер мен бірліктер болса, ол логикалық вектор деп аталады, бұл логикалық матрицаның ерекше жағдайы. Логикалық "және" операциясы көбейтуді алмастырады. Екі логикалық вектордың (ui) және (vj) сыртқы өнімі логикалық матрица түрінде беріледі. Бұл типтегі матрица бинарлық қатынастарды зерттеуде қолданылады және тікбұрышты қатынас немесе көлденең вектор деп аталады.
When a vector has only zeros and ones as entries, it is called a logical vector, a special case of a logical matrix. The logical operation and takes the place of multiplication. The outer product of two logical vectors (ui) and (vj) is given by the logical matrix This type of matrix is used in the study of binary relations, and is called a rectangular relation or a cross vector.