Введение
Векторная операция
В линейной алгебре внешнее произведение двух координатных векторов — это матрица, элементы которой являются произведениями элементов первого вектора на элементы второго вектора. Если два координатных вектора имеют размерности n и m, то их внешнее произведение является матрицей n × m. В более общем случае, для двух тензоров (многомерных массивов чисел) их внешнее произведение также является тензором. Внешнее произведение тензоров также называют тензорным произведением и можно использовать для определения тензорной алгебры. Внешнее произведение противопоставляется:
Скалярному произведению (частный случай "внутреннего произведения"), которое принимает на вход пару координатных векторов и выдает скаляр.
Произведению Кронекера, которое принимает на вход пару матриц и выдает блочную матрицу.
Стандартному умножению матриц.
The dot product (a special case of "inner product"), which takes a pair of coordinate vectors as input and produces a scalar
The Kronecker product, which takes a pair of matrices as input and produces a block matrix
Standard matrix multiplication
Ранг внешнего продукта
Если u и v оба ненулевые, то матрица внешнего произведения uvᵀ всегда имеет ранг матрицы 1. Действительно, все столбцы внешнего произведения пропорциональны первому столбцу. Таким образом, все они линейно зависимы от этого столбца, следовательно, матрица имеет ранг один. ("Ранг матрицы" не следует путать с "порядком тензора" или "степенью тензора", который иногда называют "рангом").
Определение (абстракт)
Пусть V и W — два векторных пространства. Внешнее произведение векторов и является элементом . Если V является пространством с внутренним произведением, то внешнее произведение можно определить как линейное отображение V → W. В этом случае линейное отображение является элементом двойственного пространства V, поскольку оно линейно отображает вектор в его базовое поле, элементом которого является . Внешнее произведение V → W тогда задается:
If V is an inner product space, then it is possible to define the outer product as a linear map V → W. In this case, the linear map is an element of the dual space of V, as this maps linearly a vector into its underlying field, of which is an element. The outer product V → W is then given by
Это показывает, почему в комплексном случае обычно берут сопряжённую транспонированную матрицу для 'v'.
В языках программирования
В некоторых языках программирования, при наличии функции f с двумя аргументами (или двоичного оператора), внешнее произведение f двух одномерных массивов A и B является двумерным массивом C, таким что C[i, j] = f(A[i], B[j]). Это синтаксически представлено различными способами: в APL, как бинарный оператор инфикса ∘.f; в J, как постфиксный адверб f/; в R, как функция outer(A, B, f) или специальный оператор %o%; в Mathematica, как Outer[f, A, B]. В MATLAB для этого произведения используется функция kron(A, B). Эти операции часто обобщаются для многомерных аргументов и более двух аргументов. В библиотеке Python NumPy внешнее произведение можно вычислить с помощью функции np.outer. В отличие от этого, np.kron возвращает одномерный массив. Внешнее произведение многомерных массивов можно вычислить с помощью np.multiply.outer.
Приложения
Поскольку внешнее произведение тесно связано с произведением Кронекера, некоторые применения произведения Кронекера используют внешние произведения. Эти применения встречаются в квантовой теории, обработке сигналов и сжатии изображений.
Спинеры
Предположим, что s, t, w, z ∈ 'C', так что (s, t) и (w, z) принадлежат ('C')^(2). Тогда внешнее произведение этих комплексных 2-векторов является элементом M(2, 'C') – пространства 2 × 2 комплексных матриц:
Определитель этой матрицы равен 1 = swtz − sztw = 0 из-за коммутативности 'C'. В теории спиноров в трех измерениях эти матрицы ассоциируются с изотропными векторами благодаря этому нулевому свойству. Эли Картан описал эту конструкцию в 1937 году, но она была введена Вольфгангом Паули в 1927 году, в результате чего M(2, 'C') стала называться алгеброй Паули.
Понятия
Форма блочных внешних произведений полезна при классификации. Анализ концептов – это исследование, зависящее от определенных внешних произведений:
Когда вектор состоит только из нулей и единиц, он называется логическим вектором, являющимся частным случаем логической матрицы. Логическая операция "И" заменяет умножение. Внешнее произведение двух логических векторов (ui) и (vj) задается логической матрицей. Этот тип матрицы используется при изучении бинарных отношений и называется прямоугочным отношением или векторным произведением.