Кіріспе
Фермиондарды хиральды симметриясы бар торға орналастыру күтілгеннен көп фермиондарға алып келеді. Торлы өріс теориясында фермионның екі еселенуі, фермиондық өрістерді торға тікелей орналастыру кезінде пайда болады, нәтижесінде күтілгеннен көп фермиондық күйлер туындайды. Евклидтік кеңістіктегі қарапайым дискреттелген Дирак фермиондары үшін, әрбір фермиондық өріс бірдей фермион түрлеріне алып келеді, бұл фермионның әртүрлі «дәмі» деп аталады. Фермионды екі еселеу мәселесі Нильсен-Ниномия теоремасы бойынша хиральды инварианттылықпен тығыз байланысты. Мәселені шешуге қолданылатын көптеген стратегиялар, континуум шегінде ғана Дирак фермионына дейін келетін өзгертілген фермиондарды пайдалануды қажет етеді.
In lattice field theory, fermion doubling occurs when naively putting fermionic fields on a lattice, resulting in more fermionic states than expected. For the naively discretized Dirac fermions in Euclidean dimensions, each fermionic field results in identical fermion species, referred to as different tastes of the fermion. The fermion doubling problem is intractably linked to chiral invariance by the Nielsen–Ninomiya theorem. Most strategies used to solve the problem require using modified fermions which reduce to the Dirac fermion only in the continuum limit.
Наив фермионды дискреттеу
Қарапайымдық үшін біз еркін фермионның төрт өлшемді теориясын қарастырамыз, бірақ фермионды екі еселеу мәселесі кез келген өлшемде қалады, тіпті өзара әрекеттесулер енгізілген жағдайда да. Торлы өріс теориясы әдетте Вик айналымынан кейін Миньковский кеңістігінен алынған Евклидтік кеңістікте жүзеге асырылады, онда жалғасатын Дирак әрекеті мына түрде болады.
This is discretized by introducing a lattice with lattice spacing and points indexed by a vector of integers The integral becomes a sum over all lattice points, while the fermionic fields are replaced by four component Grassmann variables at each lattice site denoted by and The derivative discretization used is the symmetric derivative discretization, with the vectors being unit vectors in the direction. These steps give the naive free fermion action
This action reduces down to the continuum Dirac action in the continuum limit, so is expect to be a theory of a single fermion. However, it instead describes sixteen identical fermions, with each fermion said to have a different taste, analogously to how particles have different flavours in particle physics. The fifteen additional fermions are often referred to as doublers. This extended particle content can be seen by analyzing the symmetries or the correlation functions of the lattice theory.
Бұл, тор арақашықтығы және бүтін сандар векторымен индекстелген нүктелері бар торды енгізу арқылы дискреттеуге болады. Интеграл барлық тор нүктелері бойынша қосындыға айналады, ал фермиондық өрістер әрбір торлық нүктеде төрт компонентті Грассманн айнымалыларымен алмастырылады және қолданылатын туынды дискреттеуі – симметриялық туынды дискреттеуі, мұндағы векторлар – сәйкес бағыттағы бірлік векторлары. Бұл қадамдар нәтивті еркін фермиондық әрекетті береді. Бұл әрекет жалғасу шегінде Дирак әрекетіне дейін азаяды, сондықтан ол бір фермион теориясы болады деп күтіледі. Дегенмен, оның орнына он алты бірдей фермион сипатталады, әр фермионның өзіндік «дәмі» болады, бұл бөлшектер физикасындағы әртүрлі «дәмдерге» ұқсас. Қосымша он бес фермионды көбінесе «екі еселенгендер» деп атайды. Бұл кеңейтілген бөлшектер құрамын тор теориясының симметриясын немесе корреляциялық функцияларын талдау арқылы көруге болады.
This is discretized by introducing a lattice with lattice spacing and points indexed by a vector of integers The integral becomes a sum over all lattice points, while the fermionic fields are replaced by four component Grassmann variables at each lattice site denoted by and The derivative discretization used is the symmetric derivative discretization, with the vectors being unit vectors in the direction. These steps give the naive free fermion action
This action reduces down to the continuum Dirac action in the continuum limit, so is expect to be a theory of a single fermion. However, it instead describes sixteen identical fermions, with each fermion said to have a different taste, analogously to how particles have different flavours in particle physics. The fifteen additional fermions are often referred to as doublers. This extended particle content can be seen by analyzing the symmetries or the correlation functions of the lattice theory.
Көбеюші мен дисперсия қатынасы
Континуум теориясында Дирак таратушысы тек бір полюске ие, себебі теория тек бір бөлшекті сипаттайды. Дегенмен, қарапайым әрекеттен таратушыны есептеу импульсы бар фермион үшін келесідей нәтиже береді. Төмен импульс мәндерінде бұл күтілетін полюске ие, бірақ функция екі полюске ие болғандықтан туындайтын он бес қосымша полюс бар, бұл жаңа фермион түрлерінің екі еселенуіне әкеледі. Бұл әртүрлі спиндерге ие бөлшектерді дискреттеу кезінде болатын жағдайдан өзгеше. Фермионның екі еселену қажеттілігі массасыз фермион таратушының бастапқы нүктеде жұп болатынынан көрінеді. Яғни, континуум шегінде ол -қа пропорционалды, және бұл кішкентай импульс шегінде торда да сақталуы керек. Бірақ құрастырылатын кез келген жергілікті тор теориясы үздіксіз және периодты таратушыға ие болуы керек, сондықтан ол нөлдік осін кем дегенде бір рет кесіп өтуі керек, бұл Бриллюэн аймағының бұрыштарында орын алады, мұнда қарапайым фермион таратушысы үшін . Бұл бозондық таратушыдан өзгеше, ол бастапқы нүктеде квадраттық және сондықтан мұндай проблемаға тап болмайды. Егер үздіксіз таратушы қолданылса, екі еселенуден аулақ болуға болады, бірақ бұл жергілікті емес теорияға әкеледі. Екі еселенгендердің болуы фермионның дисперсиялық қатынасында да көрінеді. Бұл фермионның энергиясы мен импульсі арасындағы қатынас болғандықтан, таратушының полюсінен туындайтын дисперсиялық қатынасты алу үшін кері Вик түрлендіруін орындау қажет. Бұл дисперсиялық қатынастың нөлдері – жергілікті энергия минимумдары, олардың айналасындағы қозғыштар әртүрлі бөлшек түрлеріне сәйкес келеді. Жоғарыда аталған сегіз түрлі түр үш кеңістіктік бағытта екі еселенуден туындайды. Қалған сегіз екі еселенген Евклидтік уақыт бағытындағы тағы бір екі еселенуден пайда болады, ол жоғалған сияқты көрінеді. Бірақ бұл кері Вик түрлендіруін дұрыс қолданбаудан туындайды. Теорияда қарапайым алмастыруға мүмкіндік бермейтін және оның орнына толық контурлық интеграцияны орындауды талап ететін кедергі бар. Бұны позициялық кеңістіктегі таратушы үшін жасау екі бөлек мүшеге әкеледі, олардың әрқайсысы сегіз фермион түрінің бірдей дисперсиялық қатынасына ие, барлығы он алты. Минковский және Евклидтік қарапайым фермион тор теориялары арасындағы кедергі, екі еселену Минковский уақыт бағытында пайда болмайтындықтан туындайды, сондықтан екі теорияның бөлшектер құрамы әртүрлі.
for a fermion with momentum For low momenta this still has the expected pole at , but there are fifteen additional poles when Each of these is a new fermion species with doubling arising because the function has two poles over the range This is in contrast to what happens when particles of different spins are discretized. For example, scalars acquire propagators taking a similar form except with , which only has a single pole over the momentum range and so the theory does not suffer from a doubling problem. The necessity of fermion doubling can be deduced from the fact that the massless fermion propagator is odd around the origin. That is, in the continuum limit it is proportional to , which must still be the case on the lattice in the small momentum limit. But since any local lattice theory that can be constructed must have a propagator that is continuous and periodic, it must cross the zero axis at least once more, which is exactly what occurs on the Brillouin zone corners where for the naive fermion propagator. This is in contrast to the bosonic propagator which is quadratic around the origin and so does not have such problem. Doubling can be avoided if a discontinuous propagator is used, but this results in a non local theory. The presence of doublers is also reflected in the fermion dispersion relation. Since this is a relation between the energy of the fermion and its momentum, it requires performing an inverse Wick transformation , with the dispersion relation arising from the pole of the propagator
The zeros of this dispersion relation are local energy minima around which excitations correspond to different particle species. The above has eight different species arising due to doubling in the three spatial directions. The remaining eight doublers occur due to another doubling in the Euclidean temporal direction, which seems to have been lost. But this is due to a naive application of the inverse Wick transformation. The theory has an obstruction that does not allow for the simple replacement of and instead requires performing the full contour integration. Doing this for the position space propagator results in two separate terms, each of which has the same dispersion relation of eight fermion species, giving a total of sixteen. The obstruction between the Minkowski and Euclidean naive fermion lattice theories occurs because doubling does not occur in the Minkowski temporal direction, so the two theories differ in their particle content.
Фермионды екі еселеу туралы шешімдер
Фермиондық екі еселеу – Нильсен–Ниномия теоремасы деп аталатын торлы өріс теориясындағы «жоқ» теоремасының салдары. Ол кез келген жұп өлшемді, жергілікті, гермиттік, трансляциялық инвариантты, билинейрлік фермиондық теорияда сол және оң қолды Вейль фермиондарының саны әрқашан бірдей болады және жетіспеген жағдайда қосымша фермиондар туындайды. Теорема қанша екі еселенген фермион пайда болатынын көрсетпейді, бірақ теореманың болжамдарын бұзбаса, кем дегенде бір екі еселенген фермион болады, ал нақты дискреттеуде он бес фермион болады. Теореманың салдары ретінде хиральды аномалия хиральды инвариантты теориялармен модельдеуге келмейді, себебі ол тривиальды түрде жоғалады. Фермиондық екі еселеумен торлы өріс теориясын модельдеу екі еселенген фермиондардың салдарынан дұрыс емес нәтижелерге әкеледі, сондықтан бұл мәселені шешу үшін көптеген стратегиялар әзірленді. Екі еселенген фермиондар еркін теорияда ескерілмеуі мүмкін, себебі онда әртүрлі «дәмдер» ажыратылады, бірақ оларды өзара әрекеттесу теориясында ескермеуге болмайды, өйткені өзара әрекеттесулер әртүрлі «дәмдерді» араластырады, ал импульс тек модульге дейін сақталады. Мысалы, екі «дәмді» фермиондар өте виртуалды өлшегіш бозонды алмасу арқылы импульс сақтауды бұзбай-ақ екі «дәмді» фермиондарға шашырауы мүмкін. Сондықтан фермиондық екі еселеу мәселесін шешу үшін Нильсен–Ниномия теоремасының бір немесе бірнеше болжамдарын бұзу қажет, бұл көптеген ұсынылатын шешімдерге әкеледі:
Домендік қабырға фермионы: хиральдық симметрияны нақты бұзады, кеңістіктік өлшемділікті арттырады. Гинспарг–Уилсон фермионы: хиральдық симметрияны нақты бұзады. Үшін-бірі жабысатын фермион: хиральдық симметрияны нақты бұзады (Гинспарг–Уилсон фермионының түрі). Кеміспес тор фермионы: жергілікті емес формула. SLAC фермионы: жергілікті емес құрастырылым. Стейси фермионы: жергілікті емес құрастырылым. Лестницалы фермион (Kogut–Susskind фермионы): трансляциялық инвариантты нақты бұзады, екі еселенген фермиондардың санын азайтады. Симметриялық массаны тудыру: Бұл тәсіл фермиондық билинейрлік модельден асып түседі және бұзылыссыз өзара әрекеттесу эффектілерін енгізеді. Айхтен–Прескилл моделіне негізделген бір іске асыру векторлық симметриялық фермион моделінен басталады, онда хиральдық фермиондар мен айна фермиондары екі домендік қабырғада іске асырылады. Айна фермионды симметриялық массалық генерациялау арқылы ажырату нәтижесінде фермиондық екі еселеусіз, төмен энергияда хиральдық фермиондар пайда болады. Бұрмаланған массалық фермион: хиральдық симметрияны нақты бұзады (Уилсон фермионының түрі). Уилсон фермионы: хиральдық симметрияны нақты бұзады. Бұл фермиондық формулалардың әрқайсысының өз артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Олардың айырмашылығы – оларды модельдеу жылдамдығы, оларды іске асырудың қарапайымдылығы және ерекше конфигурациялардың болуы немесе болмауы. Олардың кейбіреулерінде қалдық хиральдық симметрия бар, ол экзотикалық аномалияларды модельдеуге мүмкіндік береді. Олар сондай-ақ екі еселенген фермиондардың қаншасын жоятынымен ерекшеленеді, кейбіреулері жұп немесе фермиондардың квартетінен тұрады. Осы себепті әртүрлі проблемалар үшін әртүрлі фермиондық формулалар қолданылады.