Введение
Помещение фермионов на решетку с хиральной симметрией приводит к появлению большего числа фермионов, чем ожидалось.
В теории решетчатых полей удвоение фермионов возникает при наивном размещении фермионных полей на решетке, что приводит к большему количеству фермионных состояний, чем предполагалось. Для наивно дискретизированных фермионов Дирака в евклидовом пространстве каждое фермионное поле порождает идентичные виды фермионов, называемые различными "вкусами" фермиона. Проблема удвоения фермионов неразрешимо связана с хиральной инвариантностью, согласно теореме Нильсена — Ниномии. Большинство стратегий решения этой проблемы требуют использования модифицированных фермионов, которые переходят в фермионы Дирака только в пределе непрерывного пространства.
Наивная дискретизация фермионов
Для простоты мы рассмотрим четырехмерную теорию свободного фермиона, хотя проблема удвоения фермионов сохраняется в произвольных измерениях и даже при наличии взаимодействий. Теория поля на решетке обычно строится в евклидовом пространстве-времени, полученном из пространства-времени Минковского посредством поворота Вика, где действие Дирака в континууме принимает вид.
Это дискретизируется путем введения решетки с шагом решетки *a* и точками, индексированными вектором целых чисел **n**. Интегрирование заменяется суммированием по всем точкам решетки, а фермионные поля – четырёхкомпонентными грассмановскими переменными в каждой точке решетки, обозначаемыми ψ(*x*) и ψ̄(*x*). Используется симметричная схема дискретизации производной, где векторы **e**<sub>i</sub> являются единичными векторами в направлении *i*. Эти шаги приводят к наивному действию свободного фермиона.
Это действие стремится к действию Дирака в континууме в пределе малого шага решетки, поэтому ожидается, что оно описывает один фермион. Однако, оно на самом деле описывает шестнадцать идентичных фермионов, каждый из которых имеет свой «вкус» (taste), аналогично тому, как частицы имеют разные ароматы (flavours) в физике частиц. Пятнадцать дополнительных фермионов часто называют дублерами. Это расширенное содержание частиц можно увидеть, анализируя симметрии или корреляционные функции теории на решетке.
Отношение между распространителем и дисперсией
В теории континуума пропагатор Дирака имеет единственный полюс, поскольку теория описывает только одну частицу. Однако, вычисление пропагатора из наивного действия приводит к следующему выражению:
for a fermion with momentum For low momenta this still has the expected pole at , but there are fifteen additional poles when Each of these is a new fermion species with doubling arising because the function has two poles over the range This is in contrast to what happens when particles of different spins are discretized. For example, scalars acquire propagators taking a similar form except with , which only has a single pole over the momentum range and so the theory does not suffer from a doubling problem. The necessity of fermion doubling can be deduced from the fact that the massless fermion propagator is odd around the origin. That is, in the continuum limit it is proportional to , which must still be the case on the lattice in the small momentum limit. But since any local lattice theory that can be constructed must have a propagator that is continuous and periodic, it must cross the zero axis at least once more, which is exactly what occurs on the Brillouin zone corners where for the naive fermion propagator. This is in contrast to the bosonic propagator which is quadratic around the origin and so does not have such problem. Doubling can be avoided if a discontinuous propagator is used, but this results in a non local theory. The presence of doublers is also reflected in the fermion dispersion relation. Since this is a relation between the energy of the fermion and its momentum, it requires performing an inverse Wick transformation , with the dispersion relation arising from the pole of the propagator
The zeros of this dispersion relation are local energy minima around which excitations correspond to different particle species. The above has eight different species arising due to doubling in the three spatial directions. The remaining eight doublers occur due to another doubling in the Euclidean temporal direction, which seems to have been lost. But this is due to a naive application of the inverse Wick transformation. The theory has an obstruction that does not allow for the simple replacement of and instead requires performing the full contour integration. Doing this for the position space propagator results in two separate terms, each of which has the same dispersion relation of eight fermion species, giving a total of sixteen. The obstruction between the Minkowski and Euclidean naive fermion lattice theories occurs because doubling does not occur in the Minkowski temporal direction, so the two theories differ in their particle content.
для фермиона с импульсом . При малых импульсах это все еще имеет ожидаемый полюс в , но существует пятнадцать дополнительных полюсов при . Каждый из них соответствует новому виду фермиона, а удвоение возникает из-за того, что функция имеет два полюса в диапазоне . Это отличается от того, что происходит при дискретизации частиц с разными спинами. Например, скаляры приобретают пропагаторы, принимающие аналогичную форму, за исключением , который имеет только один полюс в диапазоне импульсов, и, следовательно, теория не страдает от проблемы удвоения. Необходимость удвоения фермионов можно вывести из того факта, что безмассовый фермионный пропагатор нечетен относительно начала координат. То есть, в пределе континуума он пропорционален , что должно оставаться верным и на решетке в пределе малых импульсов. Но поскольку любая локальная решеточная теория, которую можно построить, должна иметь непрерывный и периодический пропагатор, она должна пересекать нулевую ось как минимум еще раз, что и происходит в углах зоны Бриллюэна, где для наивного фермионного пропагатора. Это в отличие от бозонного пропагатора, который является квадратичным вблизи начала координат и, следовательно, не имеет такой проблемы. Удвоения можно избежать, используя разрывный пропагатор, но это приводит к нелокальной теории. Наличие удвоителей также отражается в дисперсионном соотношении фермионов. Поскольку это соотношение между энергией фермиона и его импульсом, требуется выполнение обратного преобразования Уика , а дисперсионное соотношение возникает из полюса пропагатора. Нули этого дисперсионного соотношения являются локальными минимумами энергии, вокруг которых возбуждения соответствуют различным видам частиц. Вышеуказанное дает восемь различных видов, возникающих из-за удвоения в трех пространственных направлениях. Оставшиеся восемь удвоений происходят из-за другого удвоения в евклидовом временном направлении, которое, по-видимому, было упущено. Но это связано с наивным применением обратного преобразования Уика. Теория имеет препятствие, которое не позволяет простой замены и вместо этого требует выполнения полного контурного интегрирования. Выполнение этого для пропагатора в координатном пространстве приводит к двум отдельным членам, каждый из которых имеет одинаковое дисперсионное соотношение для восьми фермионных видов, что в сумме дает шестнадцать. Препятствие между решеточными теориями фермионов Минковского и Евклида возникает из-за того, что удвоение не происходит во временном направлении Минковского, поэтому две теории различаются по содержанию частиц.
for a fermion with momentum For low momenta this still has the expected pole at , but there are fifteen additional poles when Each of these is a new fermion species with doubling arising because the function has two poles over the range This is in contrast to what happens when particles of different spins are discretized. For example, scalars acquire propagators taking a similar form except with , which only has a single pole over the momentum range and so the theory does not suffer from a doubling problem. The necessity of fermion doubling can be deduced from the fact that the massless fermion propagator is odd around the origin. That is, in the continuum limit it is proportional to , which must still be the case on the lattice in the small momentum limit. But since any local lattice theory that can be constructed must have a propagator that is continuous and periodic, it must cross the zero axis at least once more, which is exactly what occurs on the Brillouin zone corners where for the naive fermion propagator. This is in contrast to the bosonic propagator which is quadratic around the origin and so does not have such problem. Doubling can be avoided if a discontinuous propagator is used, but this results in a non local theory. The presence of doublers is also reflected in the fermion dispersion relation. Since this is a relation between the energy of the fermion and its momentum, it requires performing an inverse Wick transformation , with the dispersion relation arising from the pole of the propagator
The zeros of this dispersion relation are local energy minima around which excitations correspond to different particle species. The above has eight different species arising due to doubling in the three spatial directions. The remaining eight doublers occur due to another doubling in the Euclidean temporal direction, which seems to have been lost. But this is due to a naive application of the inverse Wick transformation. The theory has an obstruction that does not allow for the simple replacement of and instead requires performing the full contour integration. Doing this for the position space propagator results in two separate terms, each of which has the same dispersion relation of eight fermion species, giving a total of sixteen. The obstruction between the Minkowski and Euclidean naive fermion lattice theories occurs because doubling does not occur in the Minkowski temporal direction, so the two theories differ in their particle content.
Резолюции по удвоению фермиона
Удвоение фермионов является следствием теоремы "no go" в теории решетки поля, известной как теорема Нильсена–Ниномии. Она утверждает, что любая четноразмерная локальная, эрмитова, трансляционно инвариантная, билинейная фермионная теория всегда содержит одинаковое количество леворуких и праворуких фермионов Вейля, порождая дополнительные фермионы при их недостатке. Теорема не указывает, сколько удвоителей возникнет, но без нарушения предположений теоремы всегда будет как минимум один удвоитель, причём наивная дискретизация приводит к пятнадцати. Следствием теоремы является невозможность моделирования хиральной аномалии с использованием хирально инвариантных теорий, поскольку она тривиально обращается в ноль. Моделирование теорий решетки поля с фермионным удвоением приводит к неверным результатам из-за удвоителей, поэтому было разработано множество стратегий для преодоления этой проблемы. В то время как удвоители можно игнорировать в свободной теории, поскольку различные "вкусы" в ней декоплируются, их нельзя игнорировать во взаимодействующей теории, где взаимодействия смешивают различные "вкусы", поскольку импульс сохраняется лишь с точностью до модуля. Например, два фермиона одного "вкуса" могут рассеиваться посредством обмена сильно виртуальным калибровочным бозоном, порождая два фермиона того же "вкуса" без нарушения закона сохранения импульса. Следовательно, для преодоления проблемы удвоения фермионов необходимо нарушить одно или несколько предположений теоремы Нильсена–Ниномии, что привело к множеству предлагаемых решений:
Фермион на доменной стенке: явно нарушает хиральную симметрию, увеличивает пространственную размерность. Фермион Гинспарга–Уилсона: явно нарушает хиральную симметрию. Фермион перекрытия: явно нарушает хиральную симметрию (тип фермиона Гинспарга–Уилсона). Идеальный решётчатый фермион: нелокальная формулировка. Фермион SLAC: нелокальная формулировка. Фермион Стейси: нелокальная формулировка. Разнесенный фермион (фермион Когута–Сасскинда): явно нарушает трансляционную инвариантность, уменьшает количество удвоителей. Симметричная генерация массы: этот подход выходит за рамки фермионной двулинейной модели и вводит непертурбативные эффекты взаимодействия. Одна из реализаций, основанная на модели Эйхтена–Прескилла, начинается с векторно-симметричной модели фермионов, где хиральные фермионы и зеркальные фермионы реализуются на двух доменных стенках. Разрыв зеркального фермиона с использованием симметричной генерации массы приводит к появлению хиральных фермионов при низких энергиях без удвоения фермионов. Фермион с кручёной массой: явно нарушает хиральную симметрию (тип фермиона Уилсона). Фермион Уилсона: явно нарушает хиральную симметрию. Каждая из этих фермионных формулировок имеет свои преимущества и недостатки. Они различаются скоростью моделирования, простотой реализации и наличием или отсутствием особых конфигураций. Некоторые из них обладают остаточной хиральной симметрией, позволяющей моделировать осевые аномалии. Они также могут различаться по количеству устраняемых удвоителей, некоторые из них состоят из дублета или квартета фермионов. По этой причине для различных задач используются различные формулировки фермионов.