Кіріспе
Янг–Миллс теориясының вакуумдық күйі
Кванттық өріс теориясында, тета вакуумы – бұл абельдік емес Янг–Миллс теорияларының жартылай классикалық вакуумдық күйі, ол вакуумдық бұрыш θ арқылы сипатталады. Бұл күй, вакуумдық күйлердің топологиялық тұрғыдан ерекшеленетін шексіз жиынтығының суперпозициясы ретінде жазылғанда пайда болады. Вакуумның динамикалық әсерлері Лагранж формализмінде θ термінінің болуы арқылы көрініс береді, бұл кванттық хромодинамикада күшті CP проблемасы деп аталатын нәзік реттеу мәселесіне алып келеді. Оны 1976 жылы Кертис Каллан, Роджер Дашен және Дэвид Гросс, сондай-ақ Роман Жаккиу мен Клаудио Рабби тәуелсіз түрде ашқан.
Топологиялық вакуум
Абельдік емес Янг-Миллз теорияларының жартылай классикалық вакуумдық құрылымы жиі Евклидтік кеңістікте зерттеледі, кейде уақыттық өлшем сияқты белгілі бір өлшемде. Бұл теорияның классикалық негізгі күйлері жоғалып кететін өріс күш тензорына ие, бұл таза өлшемдік конфигурацияларға сәйкес келеді, мұнда кеңістік-уақыттағы әрбір нүктеде абельдік емес өлшемдік топқа жататын белгілі бір өлшемдік түрлендіру болады. Әрекеттің шекті болуын қамтамасыз ету үшін, белгілі бір мәнге жақындайды. Барлық кеңістіктік шексіздіктегі нүктелер енді бір жаңа нүкте ретінде қабылдалғандықтан, кеңістіктік манифольд 3 сфера ретінде мінез-құлқы көрсетеді, сондықтан өлшемдік өріс үшін таза өлшемдік таңдаулардың барлығы карта арқылы сипатталады.
When every ground state configuration can be smoothly transformed into every other ground state configuration through a smooth gauge transformation then the theory has a single vacuum state, but if there are topologically distinct configurations then it has multiple vacua. This is because if there are two different configurations that are not smoothly connected, then to transform one into the other one must pass through a configuration with non vanishing field strength tensor, which will have non zero energy. This means that there is an energy barrier between the two vacua, making them distinct. The question of whether two gauge configurations can be smoothly deformed into each other is formally described by the homotopy group of the mapping For example, the gauge group has an underlying manifold of so that the mapping is , which has a homotopy group of This means that every mapping has some integer associated with it called its winding number, also known as its Pontryagin index, with it roughly describing to how many times the spatial is mapped onto the group , with negative windings occurring due to a flipped orientation. Only mappings with the same winding number can be smoothly deformed into each other and are said to belong to the same homotopy class. Gauge transformations which preserve the winding number are called small gauge transformations while ones that change the winding number are called large gauge transformations. For other non abelian gauge groups it is sufficient to focus on one of their subgroups, ensuring that This is because every mapping of onto can be continuously deformed into a mapping onto an subgroup of , a result that follows from Botts theorem. This is in contrast to abelian gauge groups where every mapping can be deformed to the constant map and so there is a single connected vacuum state. For a gauge field configuration , one can always calculate its winding number from a volume integral which in the temporal gauge is given by
Егер әрбір негізгі күй конфигурациясы тегіс өлшемдік түрлендіру арқылы басқа әрбір негізгі күй конфигурациясына тегіс түрде түрлендірілсе, теорияда жалғыз вакуумдық күй болады, бірақ егер топологиялық жағынан ерекшеленетін конфигурациялар болса, онда ол бірнеше вакуумға ие болады. Себебі, егер екі түрлі конфигурация тегіс байланыспаса, онда біреуін екіншісіне түрлендіру үшін жоғалмайтын өріс күш тензоры бар конфигурация арқылы өту керек, ол нөлдік емес энергияға ие болады. Бұл екі вакуумның арасында энергия кедергісі бар екенін білдіреді, оларды ерекшелендіреді. Екі өлшемдік конфигурацияның бір-біріне тегіс түрде деформациялануы мүмкін бе деген сұрақ формальды түрде картаның гомотопиялық тобымен сипатталады. Мысалы, өлшемдік топ негізгі манифольдқа ие, сондықтан картаның гомотопиялық тобы бар. Бұл әрбір картамен байланысты белгілі бір бүтін сан бар екенін білдіреді, ол орау саны деп аталады, сонымен қатар оны Понтрягин индексі деп те атайды, ол кеңістіктік топқа қанша рет картаға түсіреді, ал кері бағытталудың нәтижесінде теріс ораулар пайда болады. Тек бірдей орау саны бар карталар ғана бір-біріне тегіс түрде деформациялануы мүмкін және олар бір гомотопиялық сыныпқа жатады. Орау санын сақтайтын өлшемдік түрлендірулер кішкентай өлшемдік түрлендірулер деп аталады, ал орау санын өзгертетіндері үлкен өлшемдік түрлендірулер деп аталады. Басқа абельдік емес өлшемдік топтар үшін олардың бір кіші тобына назар аудару жеткілікті, өйткені -ның кез келген картасы Botts теоремасынан туындайтын нәтижеге сәйкес, кіші топқа үздіксіз түрде деформациялануы мүмкін. Бұл абельдік өлшемдік топтарға қарама-қарсы, онда кез келген карта тұрақты картаға деформациялануы мүмкін, сондықтан жалғыз байланысты вакуумдық күй бар. Өлшемдік өріс конфигурациясы үшін оның орау санын уақыттық өлшемде жалғау тұрақтысының көмегімен берілген көлемдік интегралдан әрқашан есептеуге болады. Әртүрлі орау сандары бар вакуумдық күйлердің әртүрлі сыныптары топологиялық вакуумдар деп аталады.
Фермиондарға байланысты өзгерістер
Егер теорияда массасыз фермиондар болса, вакуум бұрышы байқауға келмейді, себебі фермиондар топологиялық вакуумдар арасындағы инстантондық туннельдеуді жояды. Бұл, бір массасыз фермионды Янг-Миллс теориясын қарастыру арқылы көрінеді. Жол интегралы формализмінде екі топологиялық вакуум арасындағы инстантон арқылы туннельдеу мына түрде көрінеді. Бұл, фермиондық өрістер бойынша интегралдаудан кейін алынған фермиондық детерминант арқасында, таза Янг-Миллс нәтижесінен өзгешеленеді. Детерминант нөлге тең болады, өйткені массасыз фермиондармен Дирак операторының кез келген инстантон конфигурациясы үшін кем дегенде бір нөлдік өзіндік мәні болады. Инстантондар енді топологиялық вакуумдар арасындағы туннельдеуге үлес қоспаса, олар осілік зарядты бұзу рөлін ойнайды және осылайша хиральдық конденсатқа себеп болады. Егер теорияда өте жеңіл фермиондар болса, онда θ мүшесі әлі де бар, бірақ оның әсері күрт азаяды, себебі олар фермион массаларына пропорционал болуы керек.
This differs from the pure Yang–Mills result by the fermion determinant acquired after integrating over the fermionic fields. The determinant vanishes because the Dirac operator with massless fermions has at least one zero eigenvalue for any instanton configuration. While instantons no longer contribute to tunnelling between topological vacua, they instead play a role in violating axial charge and thus give rise to the chiral condensate. If instead the theory has very light fermions then the θ term is still present, but its effects are heavily suppressed as they must be proportional to the fermion masses.