Введение
Вакуумное состояние теории Янга — Миллса
В квантовой теории поля тета-вакуум — это полуклассическое вакуумное состояние неабелевых теорий Янга — Миллса, определяемое углом вакуума θ, которое возникает при записи состояния в виде суперпозиции бесконечного множества топологически различных вакуумных состояний. Динамические эффекты вакуума отражены в лагранжиане посредством присутствия θ-члена, который в квантовой хромодинамике приводит к проблеме тонкой настройки, известной как сильная CP-проблема. Он был открыт в 1976 году Куртисом Калланом, Роджером Дашеном и Дэвидом Гроссом, а также независимо Романом Жаккиу и Клаудио Ребби.
Топологическая вакуумная
Полуклассическая вакуумная структура неабелевых теорий Янга–Миллса часто исследуется в евклидовом пространстве-времени в некоторой фиксированной калибровке, такой как временная калибровка. Классические основные состояния этой теории имеют тензор напряженности поля, равный нулю, что соответствует чистым калибровочным конфигурациям, где в каждой точке пространства-времени присутствует некоторая калибровочная трансформация, принадлежащая неабелевой группе калибровки. Чтобы обеспечить конечность действия, стремится к некоторому фиксированному значению при . Поскольку все точки на пространственной бесконечности теперь ведут себя как одна новая точка, пространственное многообразие ведет себя как 3-сфера, так что каждый выбор чистой калибровки для калибровочного поля описывается отображением . Если каждая конфигурация основного состояния может быть плавно преобразована в любую другую конфигурацию основного состояния посредством гладкой калибровочной трансформации, то теория имеет единственное вакуумное состояние, но если существуют топологически различные конфигурации, то она имеет несколько вакуумов. Это связано с тем, что если есть две различные конфигурации, которые не связаны плавно, то для преобразования одной в другую необходимо пройти через конфигурацию с ненулевым тензором напряженности поля, которая будет обладать ненулевой энергией. Это означает, что между двумя вакуумами существует энергетический барьер, делающий их различными. Вопрос о том, можно ли плавно деформировать две калибровочные конфигурации друг в друга, формально описывается группой гомотопии отображения. Например, группа калибровки имеет базовое многообразие , так что отображение является , которое имеет группу гомотопии . Это означает, что каждому отображению сопоставлено некоторое целое число, называемое числом обмотки, также известное как индекс Понтрягина, которое приблизительно описывает, сколько раз пространственное отображается на группу , при этом отрицательные обмотки возникают из-за инвертированной ориентации. Только отображения с одинаковым числом обмотки могут быть плавно деформированы друг в друга и считаются принадлежащими одному и тому же классу гомотопии. Калибровочные преобразования, сохраняющие число обмотки, называются малыми калибровочными преобразованиями, а те, которые изменяют число обмотки, — большими калибровочными преобразованиями. Для других неабелевых групп калибровки достаточно сосредоточиться на одной из их подгрупп, обеспечив, что это происходит потому, что каждое отображение можно непрерывно деформировать в отображение на подгруппу , результат, вытекающий из теоремы Ботта. Это отличается от абелевых групп калибровки, где каждое отображение можно деформировать в постоянное отображение, и поэтому существует единственное связное вакуумное состояние. Для конфигурации калибровочного поля всегда можно вычислить ее число обмотки из объемного интеграла, который в временной калибровке задается где — константа связи. Различные классы вакуумных состояний с различными числами обмотки называются топологическими вакуумами.
When every ground state configuration can be smoothly transformed into every other ground state configuration through a smooth gauge transformation then the theory has a single vacuum state, but if there are topologically distinct configurations then it has multiple vacua. This is because if there are two different configurations that are not smoothly connected, then to transform one into the other one must pass through a configuration with non vanishing field strength tensor, which will have non zero energy. This means that there is an energy barrier between the two vacua, making them distinct. The question of whether two gauge configurations can be smoothly deformed into each other is formally described by the homotopy group of the mapping For example, the gauge group has an underlying manifold of so that the mapping is , which has a homotopy group of This means that every mapping has some integer associated with it called its winding number, also known as its Pontryagin index, with it roughly describing to how many times the spatial is mapped onto the group , with negative windings occurring due to a flipped orientation. Only mappings with the same winding number can be smoothly deformed into each other and are said to belong to the same homotopy class. Gauge transformations which preserve the winding number are called small gauge transformations while ones that change the winding number are called large gauge transformations. For other non abelian gauge groups it is sufficient to focus on one of their subgroups, ensuring that This is because every mapping of onto can be continuously deformed into a mapping onto an subgroup of , a result that follows from Botts theorem. This is in contrast to abelian gauge groups where every mapping can be deformed to the constant map and so there is a single connected vacuum state. For a gauge field configuration , one can always calculate its winding number from a volume integral which in the temporal gauge is given by
where is the coupling constant. The different classes of vacuum states with different winding numbers are referred to as topological vacua.
Изменение вследствие фермионов
Если в теории присутствуют безмассовые фермионы, то угол вакуума становится ненаблюдаемым, поскольку фермионы подавляют туннелирование инстантонов между топологическими вакуумами. Это можно увидеть, рассмотрев теорию Янга — Миллса с одним безмассовым фермионом. В формализме интеграла по траекториям туннелирование посредством инстантона между двумя топологическими вакуумами имеет вид…
Это отличается от чистого результата Янга — Миллса фермионным детерминантом, возникающим после интегрирования по фермионным полям. Детерминант равен нулю, поскольку оператор Дирака с безмассовыми фермионами имеет хотя бы одно нулевое собственное значение для любой конфигурации инстантона. В то время как инстантоны больше не вносят вклад в туннелирование между топологическими вакуумами, они, напротив, играют роль в нарушении аксиального заряда и, таким образом, приводят к образованию хирального конденсата. Если же в теории присутствуют очень легкие фермионы, то θ-член все еще существует, но его эффекты сильно подавлены, поскольку они должны быть пропорциональны массам фермионов.