Введение

Метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Метод граничных элементов (МГЭ) — это численный вычислительный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных, сформулированных в виде интегральных уравнений (т.е. в граничной интегральной форме). Он применяется в механике жидкостей, акустике, электромагнетизме (где этот метод известен как метод моментов или сокращенно MoM), механике разрушения и механике контактов.

Математическая основа

Интегральное уравнение можно рассматривать как точное решение управляющего уравнения в частных производных. Метод граничных элементов стремится использовать заданные граничные условия для подгонки граничных значений в интегральное уравнение, а не значений во всем пространстве, определяемом уравнением в частных производных. После этого, на этапе постобработки, интегральное уравнение может быть снова использовано для численного вычисления решения непосредственно в любой желаемой точке внутри области решения. Метод BEM применим к задачам, для которых можно вычислить функции Грина. Обычно это поля в линейных однородных средах. Это накладывает существенные ограничения на диапазон и общность задач, к которым можно эффективно применять метод граничных элементов. Нелинейности могут быть включены в формулировку, однако они обычно приводят к появлению объемных интегралов, которые затем требуют дискретизации объема перед попыткой решения, что устраняет одно из наиболее часто упоминаемых преимуществ BEM. Эффективным методом обработки объемного интеграла без дискретизации объема является метод двойной взаимности. Этот метод аппроксимирует часть подынтегрального выражения, используя радиальные базисные функции (локальные интерполирующие функции), и преобразует объемный интеграл в граничный интеграл после вычисления в выбранных точках, распределенных по всему объемному домену (включая границу). В BEM с двойной взаимностью, хотя дискретизация объема в сетку и не требуется, неизвестные в выбранных точках внутри области решения участвуют в системе линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих рассматриваемую задачу. Элементы функции Грина, соединяющие пары источников и полей, определенных сеткой, образуют матрицу, которая решается численно. Если функция Грина ведет себя нерегулярно, по крайней мере для пар участков, расположенных близко друг к другу, функцию Грина необходимо интегрировать по одному или обоим участкам – исходному и полевому. Форма метода, в которой интегралы по исходному и полевому участкам одинаковы, называется "методом Галеркина". Метод Галеркина является очевидным подходом для задач, симметричных относительно обмена точками источника и поля. В частотной электродинамике это обеспечивается электромагнитной взаимностью. Вычислительные затраты, связанные с наивными реализациями метода Галеркина, обычно весьма значительны. Необходимо перебирать каждую пару элементов (получается n² взаимодействий), и для каждой пары элементов перебирать точки Гаусса в элементах, что приводит к мультипликативному фактору, пропорциональному квадрату числа точек Гаусса. Кроме того, требуемые вычисления функций обычно довольно дороги, включая вызовы тригонометрических и гиперболических функций. Тем не менее, основным источником вычислительных затрат является этот двойной цикл по элементам, формирующий полностью заполненную матрицу. Функции Грина, или фундаментальные решения, часто проблематичны для интегрирования, поскольку они основаны на решении системных уравнений при сингулярной нагрузке (например, электрическое поле, создаваемое точечным зарядом). Интегрирование таких сингулярных полей – непростая задача. Для простых геометрических форм элементов (например, плоских треугольников) можно использовать аналитическое интегрирование. Для более общих элементов можно разработать чисто численные схемы, которые адаптируются к сингулярности, но с большими вычислительными затратами. Конечно, когда точка источника и целевой элемент (где выполняется интегрирование) находятся далеко друг от друга, локальный градиент вблизи точки не требует точного определения, и интегрирование становится возможным благодаря плавному убыванию фундаментального решения. Именно эта особенность обычно используется в схемах, предназначенных для ускорения вычислений методом граничных элементов. Получение функций Грина в замкнутой форме представляет особый интерес в методе граничных элементов, особенно в электромагнетизме. В частности, при анализе слоистых сред получение пространственной функции Грина требует обращения аналитически выводимой спектральной функции Грина через интеграл по пути Сомерфельда. Этот интеграл нельзя оценить аналитически, а его численное интегрирование является дорогостоящим из-за его осциллирующего и медленно сходящегося характера. Для надежного анализа пространственные функции Грина аппроксимируются комплексными экспонентами с использованием таких методов, как метод Прони или обобщенный pencil-of-function, а интеграл вычисляется с использованием тождества Сомерфельда.

Сравнение с другими методами

Метод граничных элементов часто более эффективен, чем другие методы, включая метод конечных элементов, с точки зрения вычислительных ресурсов для задач с малым отношением площади поверхности к объему. Концептуально, он работает путем построения "сетки" на смоделированной поверхности. Однако для многих задач методы граничных элементов значительно менее эффективны, чем методы дискретизации по объему (метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов). Хорошим примером применения метода граничных элементов является эффективное вычисление собственных частот колебаний жидкости в резервуарах. Метод граничных элементов – один из наиболее эффективных методов для численного моделирования контактных задач, в частности, для моделирования адгезионного контакта. Формулировки метода граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к памяти и вычислительное время, как правило, растут пропорционально квадрату размера задачи. В отличие от этого, матрицы метода конечных элементов обычно являются полосными (элементы связаны только локально), а требования к памяти для системных матриц обычно растут почти линейно с размером задачи. Для смягчения этих проблем можно использовать методы сжатия (например, многополюсные разложения или адаптивное перекрестное приближение/иерархические матрицы), хотя это и усложняет вычисления, а эффективность зависит от характера решаемой задачи и геометрии.