Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бүтін санды оң бүтін сандардың қосындысы ретінде жіктеу. Бүтін санды бөлу.
Decomposition of an integer as a sum of positive integers
partitioning an integer
Сандар теориясы мен комбинаторикада, теріс емес бүтін сан n-ді бөлу, сонымен қатар бүтін санды бөлу деп те аталады, n-ді оң бүтін сандардың қосындысы ретінде жазудың бір жолы. Қосылғыштардың ретімен ғана ерекшеленетін екі қосынды бірдей бөлу болып есептеледі. (Егер рет маңызды болса, онда қосынды композицияға айналады.) Мысалы, 4 санын бес түрлі жолмен бөлуге болады:
In number theory and combinatorics, a partition of a non negative integer n, also called an integer partition, is a way of writing n as a sum of positive integers. Two sums that differ only in the order of their summands are considered the same partition. (If order matters, the sum becomes a composition.) For example, 4 can be partitioned in five distinct ways:
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
Нөлдің жалғыз бөлінісі – бөліктері жоқ бос қосынды. Ретке тәуелді композиция 1 + 3, 3 + 1 сияқты бірдей бөлініс болып табылады, ал екі түрлі композиция 1 + 2 + 1 және 1 + 1 + 2, 2 + 1 + 1 сияқты бірдей бөліністі көрсетеді. Бөліністегі жеке қосылғыш бөлік деп аталады. n-нің бөліністерінің саны p(n) бөлініс функциясы арқылы беріледі. Сондықтан p(4) = 5. λ ⊢ n белгісі λ - n-нің бөлінісі екенін білдіреді.
The only partition of zero is the empty sum, having no parts. The order dependent composition 1 + 3 is the same partition as 3 + 1, and the two distinct compositions 1 + 2 + 1 and 1 + 1 + 2 represent the same partition as 2 + 1 + 1. An individual summand in a partition is called a part. The number of partitions of n is given by the partition function p(n). So 1=p(4) = 5. The notation λ ⊢ n means that λ is a partition of n.
Бөліністерді Янг диаграммалары немесе Феррер диаграммалары арқылы графикалық түрде бейнелеуге болады. Олар математика мен физиканың көптеген салаларында, соның ішінде симметриялық полиномдар мен симметриялық топтарды зерттеуде және жалпы топтық өкілдік теориясында кездеседі.
Partitions can be graphically visualized with Young diagrams or Ferrers diagrams. They occur in a number of branches of mathematics and physics, including the study of symmetric polynomials and of the symmetric group and in group representation theory in general.
Бөлімшелердің диаграммалық бейнелері
Бөлімшелерді көрсетудің екі кең таралған диаграммалық әдісі бар: Норман Маклиод Феррерс атымен аталатын Феррер диаграммасы және Альфред Янг атымен аталатын Янг диаграммасы. Екеуінің де әртүрлі қолданылуы мүмкін конвенциялары бар; осы жерде біз ағылшын нотациясын қолданамыз, диаграммалар сол үстіңгі бұрышта орналасқан.
There are two common diagrammatic methods to represent partitions: as Ferrers diagrams, named after Norman Macleod Ferrers, and as Young diagrams, named after Alfred Young. Both have several possible conventions; here, we use English notation, with diagrams aligned in the upper left corner.
Шектелген бөліктер
Комбинаторика және сан теориясында әртүрлі шектеулерге бағынған бөлістердің топтары жиі зерттеледі. Осы бөлімде мұндай шектеулердің бірнешеуіне шолу жасалады.
In both combinatorics and number theory, families of partitions subject to various restrictions are often studied. This section surveys a few such restrictions.
Янг торшасы
Янг диаграммаларын кіріктіру арқылы берілген бөліктердің табиғи ішінара тәртібі бар. Бұл ішінара реттелген жиын Янг торсы деп аталады. Тор бастапқыда өкілдік теориясы контекстінде анықталды, онда ол барлық n үшін симметриялық топтардың Sn-нің өзгермейтін өкілдіктерін, олардың тармақталу қасиеттерімен бірге, нөлдік сипаттамада сипаттау үшін қолданылады. Ол сондай-ақ өзінің таза комбинаторлық қасиеттері үшін маңызды зерттеулерге ие болды; әсіресе, ол дифференциалдық позиттің негізгі мысалы болып табылады.
There is a natural partial order on partitions given by inclusion of Young diagrams. This partially ordered set is known as Young's lattice. The lattice was originally defined in the context of representation theory, where it is used to describe the irreducible representations of symmetric groups Sn for all n, together with their branching properties, in characteristic zero. It also has received significant study for its purely combinatorial properties; notably, it is the motivating example of a differential poset.
Кездейсоқ бөліктер
Робинсон-Шенстед сәйкестігі арқылы симметриялық топтағы біртекті ықтималдық таралымы бойынша таңдалған кездейсоқ бөліктердің терең теориясы бар. 1977 жылы Логан мен Шепп, сондай-ақ Вершик пен Керов, типтік үлкен бөліктің Янг диаграммасы белгілі бір функционалды минимумдаушы белгілі бір аналитикалық функцияның графигіне асимптотикалық жақын болатынын көрсетті. 1988 жылы Байк, Дейфт және Йоханссон бұл нәтижелерді Tracy-Widom таралымы тұрғысынан кездейсоқ орналастырудың ең ұзын өсу тізбегінің таралуын анықтау үшін кеңейтті. Окунков бұл нәтижелерді Риман беттерінің комбинаторикасы және өкілдік теориясымен байланыстырды.
There is a deep theory of random partitions chosen according to the uniform probability distribution on the symmetric group via the Robinson–Schensted correspondence. In 1977, Logan and Shepp, as well as Vershik and Kerov, showed that the Young diagram of a typical large partition becomes asympototically close to the graph of a certain analytic function minimizing a certain functional. In 1988, Baik, Deift and Johansson extended these results to determine the distribution of the longest increasing subsequence of a random permutation in terms of the Tracy–Widom distribution. Okounkov related these results to the combinatorics of Riemann surfaces and representation theory.