Введение
Разложение целого числа в виде суммы положительных целых чисел, разбиение целого числа. В теории чисел и комбинаторике разбиение неотрицательного целого числа n, также называемое разбиением целых чисел, представляет собой способ записи n в виде суммы положительных целых чисел. Две суммы, различающиеся только порядком слагаемых, считаются одним и тем же разбиением. (Если порядок имеет значение, то сумма становится композицией.) Например, число 4 можно разбить пятью различными способами:
partitioning an integer
In number theory and combinatorics, a partition of a non negative integer n, also called an integer partition, is a way of writing n as a sum of positive integers. Two sums that differ only in the order of their summands are considered the same partition. (If order matters, the sum becomes a composition.) For example, 4 can be partitioned in five distinct ways:
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
The only partition of zero is the empty sum, having no parts. The order dependent composition 1 + 3 is the same partition as 3 + 1, and the two distinct compositions 1 + 2 + 1 and 1 + 1 + 2 represent the same partition as 2 + 1 + 1. An individual summand in a partition is called a part. The number of partitions of n is given by the partition function p(n). So 1=p(4) = 5. The notation λ ⊢ n means that λ is a partition of n.
Partitions can be graphically visualized with Young diagrams or Ferrers diagrams. They occur in a number of branches of mathematics and physics, including the study of symmetric polynomials and of the symmetric group and in group representation theory in general.
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
partitioning an integer
In number theory and combinatorics, a partition of a non negative integer n, also called an integer partition, is a way of writing n as a sum of positive integers. Two sums that differ only in the order of their summands are considered the same partition. (If order matters, the sum becomes a composition.) For example, 4 can be partitioned in five distinct ways:
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
The only partition of zero is the empty sum, having no parts. The order dependent composition 1 + 3 is the same partition as 3 + 1, and the two distinct compositions 1 + 2 + 1 and 1 + 1 + 2 represent the same partition as 2 + 1 + 1. An individual summand in a partition is called a part. The number of partitions of n is given by the partition function p(n). So 1=p(4) = 5. The notation λ ⊢ n means that λ is a partition of n.
Partitions can be graphically visualized with Young diagrams or Ferrers diagrams. They occur in a number of branches of mathematics and physics, including the study of symmetric polynomials and of the symmetric group and in group representation theory in general.
Единственное разбиение нуля – пустая сумма, не имеющая слагаемых. Композиция, зависящая от порядка, 1 + 3 является тем же разбиением, что и 3 + 1, а две различные композиции 1 + 2 + 1 и 1 + 1 + 2 представляют то же разбиение, что и 2 + 1 + 1. Каждое слагаемое в разбиении называется частью. Количество разбиений числа n задается функцией разбиений p(n). Таким образом, p(4) = 5. Обозначение λ ⊢ n означает, что λ является разбиением n.
partitioning an integer
In number theory and combinatorics, a partition of a non negative integer n, also called an integer partition, is a way of writing n as a sum of positive integers. Two sums that differ only in the order of their summands are considered the same partition. (If order matters, the sum becomes a composition.) For example, 4 can be partitioned in five distinct ways:
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
The only partition of zero is the empty sum, having no parts. The order dependent composition 1 + 3 is the same partition as 3 + 1, and the two distinct compositions 1 + 2 + 1 and 1 + 1 + 2 represent the same partition as 2 + 1 + 1. An individual summand in a partition is called a part. The number of partitions of n is given by the partition function p(n). So 1=p(4) = 5. The notation λ ⊢ n means that λ is a partition of n.
Partitions can be graphically visualized with Young diagrams or Ferrers diagrams. They occur in a number of branches of mathematics and physics, including the study of symmetric polynomials and of the symmetric group and in group representation theory in general.
Разбиения можно графически представить с помощью диаграмм Янга или диаграмм Феррера. Они встречаются в различных областях математики и физики, включая изучение симметричных многочленов и симметрической группы, а также в общей теории представлений групп.
partitioning an integer
In number theory and combinatorics, a partition of a non negative integer n, also called an integer partition, is a way of writing n as a sum of positive integers. Two sums that differ only in the order of their summands are considered the same partition. (If order matters, the sum becomes a composition.) For example, 4 can be partitioned in five distinct ways:
4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
The only partition of zero is the empty sum, having no parts. The order dependent composition 1 + 3 is the same partition as 3 + 1, and the two distinct compositions 1 + 2 + 1 and 1 + 1 + 2 represent the same partition as 2 + 1 + 1. An individual summand in a partition is called a part. The number of partitions of n is given by the partition function p(n). So 1=p(4) = 5. The notation λ ⊢ n means that λ is a partition of n.
Partitions can be graphically visualized with Young diagrams or Ferrers diagrams. They occur in a number of branches of mathematics and physics, including the study of symmetric polynomials and of the symmetric group and in group representation theory in general.
Диаграммы разделов
Существует два распространенных диаграммных метода представления разбиений: диаграммы Феррера, названные в честь Нормана Маклиода Феррера, и диаграммы Юнга, названные в честь Альфреда Юнга. Оба метода допускают различные соглашения; в данной работе мы используем английскую нотацию, при которой диаграммы выровнены по верхнему левому углу.
Ограниченные разделы
Как в комбинаторике, так и в теории чисел часто изучаются семейства разбиений, подчиняющиеся различным ограничениям. В этом разделе представлен обзор некоторых из этих ограничений.
Янгская решетка
Существует естественный частичный порядок на разбиениях, заданный включением диаграмм Янга. Это частично упорядоченное множество известно как решетка Янга. Решетка была первоначально определена в контексте теории представлений, где она используется для описания неприводимых представлений симметрических групп Sn для всех n, а также их свойств ветвления, в характеристике ноль. Она также получила значительное изучение благодаря своим чисто комбинаторным свойствам; в частности, это мотивирующий пример дифференциального частично упорядоченного множества.
Случайные разделы
Существует глубокая теория случайных разбиений, выбранных в соответствии с равномерным распределением вероятностей на симметрической группе посредством соответствия Робинсона — Шенстеда. В 1977 году Логан и Шепп, а также Вершик и Керов показали, что диаграмма Янга типичного большого разбиения асимптотически приближается к графику некоторой аналитической функции, минимизирующей определённый функционал. В 1988 году Байк, Дейфт и Йоханссон расширили эти результаты, чтобы определить распределение самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки в терминах распределения Трейси — Видома. Окуньков связал эти результаты с комбинаторикой поверхностей Римана и теорией представлений.