Кіріспе
Оң бүтін сандардың кубтарының кері шамаларының қосындысы иррационалды сан болады.
Математикада Апери теоремасы – сандар теориясының бір нәтижесі болып табылады, ол Апери тұрақтысы ζ(3) иррационалды екенін көрсетеді. Яғни, сан
In mathematics, Apéry's theorem is a result in number theory that states the Apéry's constant ζ(3) is irrational. That is, the number
p және q бүтін сандар болған кезде бөлшек түрінде жазылмайды. Теорема Роджер Аперидің құрметіне аталған. Риманн зетта-функциясының жұп бүтін сандардағы ерекше мәндері Бернулли сандары арқылы иррационалды болып көрсетілуі мүмкін, ал функцияның тақ бүтін сандардағы мәндерінің жалпы рационалды ма, жоқ па, әлі де ашық мәселе болып қалуда (бірақ олар иррационалды деп есептеледі).
Кейінгі дәлелдемелер
Аперидің нәтижесінен кейін бір жыл ішінде Фриц Бьюкерс Аперидің қатарын ауыстырылған Лежандр полиномдарына байланысты интегралдармен алмастырды. Кейіннен Хаджикостастың формуласына дейін жалпыланған өрнек қолданып, Бьюкерс кейбір бүтін сандар үшін An және Bn (тізбектер және ) екенін көрсетті. Бөлшек интегралдауды және -ның рационал сан және -ға тең деген болжамды пайдаланып, Бьюкерс соңында мына теңсіздікті шығарды, бұл қарама-қайшылық, себебі оң жақ өрнек нөлге жақындайды, сондықтан да оң жағы ақырында нөлден төмен түсуі керек. Вадим Зудилиннің жақындағы дәлелі Аперидің бастапқы дәлеліне көбірек ұқсайды, сондай-ақ Юрий Нестеренконың төртінші дәлелімен де ұқсастықтары бар. Бұл кейінгі дәлелдер де -ның рационал екендігі туралы болжамнан қарама-қайшылықты шығару үшін нөлге жақындайтын, бірақ қандай да бір оң тұрақтымен шектелген тізбектерді құрастырады. Олар гипергеометриялық қатарларға сүйенгендіктен, бұрынғы дәлелдерге қарағанда түсініксіз болып көрінеді.
for some integers An and Bn (sequences and ). Using partial integration and the assumption that was rational and equal to , Beukers eventually derived the inequality
which is a contradiction since the right most expression tends to zero as , and so must eventually fall below
A more recent proof by Wadim Zudilin is more reminiscent of Apéry's original proof, and also has similarities to a fourth proof by Yuri Nesterenko. These later proofs again derive a contradiction from the assumption that is rational by constructing sequences that tend to zero but are bounded below by some positive constant. They are somewhat less transparent than the earlier proofs, since they rely upon hypergeometric series.