Введение

Сумма обратных кубов положительных целых чисел иррациональна. В математике теорема Апери — это результат в теории чисел, утверждающий, что постоянная Апери ζ(3) иррациональна. То есть, число

не может быть представлено в виде дроби, где p и q — целые числа. Теорема названа в честь Роджера Апери. Специальные значения дзета-функции Римана при четных целых числах могут быть выражены через числа Бернулли и показаны как иррациональные, в то время как вопрос о том, являются ли значения функции при нечетных целых числах в целом рациональными или нет, остается открытым (хотя предполагается, что они иррациональны).

Поздние доказательства

Через год после результата Апери Фриц Бьюкерс нашёл альтернативное доказательство, заменив ряд Апери интегралами, включающими смещённые полиномы Лежандра. Используя представление, которое впоследствии было обобщено до формулы Хаджикостаса, Бьюкерс показал, что для некоторых целых чисел An и Bn (последовательностей и ). Используя интегрирование по частям и предположение, что рационально и равно , Бьюкерс в конечном итоге получил неравенство, которое является противоречием, поскольку правая часть стремится к нулю при , и, следовательно, должна в конечном итоге стать меньше . Более позднее доказательство Вадима Зудилина больше напоминает оригинальное доказательство Апери и также имеет сходство с четвёртым доказательством Юрия Нестеренко. Эти более поздние доказательства снова выводят противоречие из предположения, что рационально, путём построения последовательностей, стремящихся к нулю, но ограниченных снизу некоторой положительной константой. Они несколько менее наглядны, чем предыдущие доказательства, поскольку опираются на гипергеометрические ряды.