Кіріспе

Математикада векторлық кеңістіктегі симметриялық билинеарлық форма – векторлық кеңістіктің екі данасынан скалярлар өрісіне дейінгі билинеарлық бейнелеу, онда екі вектордың реті бейнелеу мәніне әсер етпейді. Яғни, бұл векторлық кеңістіктің әрбір элементтерінің жұптарын негізгі өріске бейнелейтін билинейрлік функция, сондықтан кез келген және үшін. «Билинеарлық» түсінікті болғанда, оларды жай ғана симметриялық формалар деп те атайды. Шекті өлшемді векторлық кеңістіктердегі симметриялық билинеарлық формалар V үшін берілген негізде симметриялық матрицаларға дәл сәйкес келеді. Билинеарлық формалардың арасында симметриялықтары маңызды, себебі олар векторлық кеңістікте ортогональдық негіз деп аталатын ерекше қарапайым түрі бар негізге ие (кем дегенде өрістің сипаттамасы 2-ге тең болмағанда). Симметриялық билинеарлық форма B берілгенде, 1=q(x) = B(x, x) функциясы векторлық кеңістіктегі байланысты квадраттық форма болып табылады. Сонымен қатар, егер өрістің сипаттамасы 2-ге тең болмаса, B – бұл q-мен байланысты бірегей симметриялық билинеарлық форма.

Ресми анықтама

V – K өрісіндегі n өлшемді векторлық кеңістік болсын. Егер φ – кеңістікте симметриялық билинейрлік форма болса:

Соңғы екі аксиома тек бірінші аргумент бойынша сызықтықты белгілейді, бірақ бірінші аксиома (симметрия) одан кейін екінші аргумент бойынша да сызықтықты қамтамасыз етеді.

Мысалдар

1=V = Rn, n өлшемді нақты векторлық кеңістік болсын. Онда стандартты скалярлық көбейтінді симметриялық билинеарлық форма, 1=B(x, y) = x ⋅ y. Стандартты базисте осы билинеарлық формаға сәйкес келетін матрица (төменде қараңыз) бірлік матрица болып табылады. V кез келген векторлық кеңістік болсын (мүмкін шексіз өлшемді де болсын) және T функциясы V-ден өріске дейінгі сызықтық функция деп есептелсін. Онда, 1=B(x, y) = T(x)T(y) деп анықталған функция симметриялық билинеарлық форма болып табылады. V жалғамалы бір айнымалы нақты функциялардың векторлық кеңістігі болсын. Онда, белгілі интегралдардың қасиеттері арқылы, бұл V кеңістігінде симметриялық билинеарлық форманы анықтайды. Бұл симметриялық билинеарлық форманың мысалы, ол ешқандай симметриялық матрицамен байланысты емес (өйткені векторлық кеңістік шексіз өлшемді).

Ортогоналдылық және сингулярлық

Екі вектор v және w, егер B(v, w) = 0 болса, B билинейрлік формасына қатысты ортогоналды деп анықталады, бұл симметриялық билинейрлік форма үшін B(w, v) = 0-ге тең. Билинейрлік форманың радикалы – V кеңістігіндегі кез келген вектормен ортогоналды векторлар жиыны. Бұл V кеңістігінің ішкі кеңістігі екендігі B-нің әрбір аргументі бойынша сызықтығынан туындайды. Белгілі бір базис бойынша A матрицалық өрнегімен жұмыс істегенде, x арқылы көрсетілген v, радикалға тиесілі, егер және тек қана A матрицасы сингулярлы болса, яғни радикал тривиалды болмаса. Егер W, V кеңістігінің ішкі жиыны болса, онда оның ортогоналды толықтыруы W⊥ – V кеңістігіндегі W-дегі кез келген вектормен ортогоналды барлық векторлар жиыны; бұл V кеңістігінің ішкі кеңістігі. B дегенеративті емес болғанда, B радикалы тривиалды болады және W⊥ өлшемі dim(W⊥) = dim(V) − dim(W) тең.

Қолтаңба және Сильвестрдің инерция заңы

Жалпы жағдайда, Сильвестрдің инерция заңы реттелген өріс үстінде жұмыс істегенде, матрицаның диагональдық түріндегі оң, теріс және нөлге тең диагональдық элементтердің саны таңдалған ортогональды базиске тәуелсіз екенін айтады. Бұл үш сан билинейр форманың қолтаңбасын құрайды.

Ортогональды полярлық

B – K өрісінің сипаттамасы 2-ге тең болмайтын V кеңістігіндегі тривиалды түбірі бар симметриялық билинеарлық форма. V кеңістігінің барлық ішкі кеңістіктері жиыны D(V) арқылы белгіленеді, және осы жиыннан өзіне келетін келесі картаны анықтауға болады:

Бұл карта проективті кеңістік PG(W)-де ортогоналды полярлық болып табылады. Керісінше, барлық ортогоналды полярлықтар осылай туындайтынын, ал тривиалды түбірі бар екі симметриялық билинеарлық форма скалярлық көбейтуге дейін тең болса, бірдей полярлықты туындайтынын дәлелдеуге болады.