Введение

В математике симметричная билинейная форма на векторном пространстве — это билинейное отображение из двух копий векторного пространства в поле скаляров, такое что порядок двух векторов не влияет на значение отображения. Иными словами, это билинейная функция, которая отображает каждую пару элементов векторного пространства в базовое поле таким образом, что для любых векторов x и y. Они также часто называются просто симметричными формами, когда подразумевается, что речь идет о билинейных формах. Симметричные билинейные формы на конечномерных векторных пространствах точно соответствуют симметричным матрицам, заданным базисом для V. Среди билинейных форм симметричные формы особенно важны, поскольку для векторных пространств с такими формами существует особенно простой вид базиса, известный как ортогональный базис (по крайней мере, когда характеристика поля не равна 2). Для заданной симметричной билинейной формы B функция q(x) = B(x, x) является соответствующей квадратичной формой на векторном пространстве. Более того, если характеристика поля не равна 2, B является единственной симметричной билинейной формой, связанной с q.

Формальное определение

Пусть V – векторное пространство размерности n над полем K. Отображение B является симметричной билинейной формой на пространстве, если: последние две аксиомы устанавливают линейность только по первому аргументу, но первая аксиома (симметричность) сразу же влечет линейность и по второму аргументу.

Примеры

Пусть V = Rn, n-мерное вещественное векторное пространство. Тогда стандартное скалярное произведение является симметричной билинейной формой, определяемой как B(x, y) = x ⋅ y. Матрица, соответствующая этой билинейной форме (см. ниже) в стандартном базисе, является единичной матрицей. Пусть V – любое векторное пространство (включая, возможно, бесконечномерное), и предположим, что T – линейное отображение из V в поле. Тогда функция, определяемая как B(x, y) = T(x)T(y), является симметричной билинейной формой. Пусть V – векторное пространство непрерывных вещественных функций одной переменной. Для этого можно определить B(x, y) = ∫x(t)y(t)dt. По свойствам определённых интегралов, это определяет симметричную билинейную форму на V. Это пример симметричной билинейной формы, не связанной с какой-либо симметричной матрицей (поскольку векторное пространство бесконечномерно).

Ортогональность и сингулярность

Два вектора v и w считаются ортогональными относительно билинейной формы B, если B(v, w) = 0, что для симметричной билинейной формы эквивалентно B(w, v) = 0. Радикал билинейной формы B — это множество векторов, ортогональных каждому вектору в V. Тот факт, что это подпространство V, следует из линейности B по каждому из его аргументов. При работе с матричным представлением A относительно некоторого базиса, вектор v, представленный x, принадлежит радикалу тогда и только тогда, когда…

Матрица A является вырожденной (сингулярной) тогда и только тогда, когда радикал нетривиален. Если W — подмножество V, то его ортогональное дополнение W⊥ — это множество всех векторов в V, ортогональных каждому вектору в W; оно является подпространством V. Когда B невырождена, радикал B тривиален, а размерность W⊥ равна dim(W⊥) = dim(V) − dim(W).

Подпись и закон инерции Сильвестра

В более общем виде закон инерции Сильвестра утверждает, что при работе над упорядоченным полем количество положительных, отрицательных и нулевых диагональных элементов в диагонализованной форме матрицы не зависит от выбора ортогонального базиса. Эти три числа образуют сигнатуру билинейной формы.

Ортогональные полярности

Пусть B — симметричная двулинейная форма с тривиальным радикалом на пространстве V над полем K характеристики, не равной 2. Можно определить отображение из D(V), множества всех подпространств V, в само себя:

Это отображение является ортогональной полярностью на проективном пространстве PG(W). Обратно, можно доказать, что все ортогональные полярности индуцируются таким образом, и что две симметричные двулинейные формы с тривиальным радикалом индуцируют одну и ту же полярность тогда и только тогда, когда они равны с точностью до умножения на скаляр.