Кіріспе
Жарылудың математикалық ұғымы
Математикада жарылу немесе көтерілу – берілген кеңістіктің ішкі кеңістігін сол ішкі кеңістіктен шығатын барлық бағыттар кеңістігімен алмастыратын геометриялық түрлендірудің бір түрі. Мысалы, жазықтықтағы нүктенің көтерілуі сол нүктедегі проекцияланған жанама кеңістікпен алмастырады. Бұл метафора жарылысқа емес, суреттің бөлігін үлкейту үшін фотосуреттің үлкейтілуіне қатысты. Көтерілулер – бирационалдық геометриядағы ең негізгі түрлендіру, өйткені проективті әртүрліліктер арасындағы әрбір бирационалдық морфизм – көтерілу болып табылады. Әлсіз факторлау теоремасы әрбір бирационалдық бейнелеуді ерекше қарапайым көтерілулердің композициясы ретінде жіктеуге болады дейді. Кремона тобы, жазықтықтың бирационалдық автоморфизмдер тобы, көтерілулер арқылы туындайды. Бирационалдық түрлендірулерді сипаттаудағы маңыздылығынан басқа, көтерілулер жаңа кеңістіктерді құрудың да маңызды тәсілі болып табылады. Мысалы, сингулярлықтарды жою процедураларының көпшілігі сингулярлықтар тегіс болғанша көтерілу арқылы жүзеге асырылады. Осының салдарынан, көтерілулер бирационалдық бейнелеулердің сингулярлықтарын жою үшін қолданылуы мүмкін. Классикалық тұрғыдан, көтерілулер сырттан анықталды, яғни алдымен проективті кеңістік сияқты кеңістіктерде координаталар арқылы нақты құрылымдарды пайдаланып көтерілу анықталды, содан кейін басқа кеңістіктерде көтерілулер кіріктірулер арқылы анықталды. Бұл кейбір терминологияда көрініс береді, мысалы, классикалық моноидалдық түрлендіру термині. Қазіргі алгебралық геометрия көтерілуді алгебралық әртүрлілікке қатысты ішкі операция ретінде қарастырады. Осы көзқарас бойынша, көтерілу – бұл ішкі әртүрлілікті Картье бөлгішіне айналдырудың әмбебап (категория теориясы мағынасында) тәсілі. Көтерілуді моноидалдық түрлендіру, жергілікті квадраттық түрлендіру, кеңею, σ процесі немесе Хопф бейнелеуі деп те атауға болады.
Күрделі коллекторлардың субманифолдарын өртеу
Жалпы алғанда, кез келген кодименсиялық k кешенді Cn Z субкөптүрін көтеруге болады. Егер Z теңдеулердің жиыны болса, ал Pk+1-де біртекті координаттар берілген болсын. Онда көтеру Cn × Pk+1 кеңістігінде барлық i және j үшін теңдеулердің жиыны болып табылады. Одан да жалпырақ, осы құрылысты жергілікті түрде қолдану арқылы кез келген күрделі көптік X-тің кез келген субкөптүрін көтеруге болады. Нәтижесі, бұрынғыдай, көтеру орны Z-ды ерекше бөлгіш E-мен алмастыру. Басқаша айтқанда, көтеру картасы – бұл бирационалдық бейнелеу, ол E-ден тыс изоморфизмді тудырады, ал E-де Pk+1 талшығымен жергілікті тривиалды фибрацияны тудырады. Шындығында, шектеу X-те Z-дың қалыпты шоғының проективтенуі ретінде қарастырылады. E – тегіс бөлгіш болғандықтан, оның қалыпты шоғы – түзу шоқ. E өзін теріс қиып тұрғанын көрсету қиын емес. Бұл оның қалыпты шоғында голоморфты қималардың жоқтығын білдіреді; E – оның гомология класының жалғыз тегіс кешенді өкілі. (Егер E өзін сол кластағы басқа кешенді субкөптүрлілікке өзгертуге болады десек. Онда екі субкөптүрлі оң қиылысады – кешенді субкөптүрліліктер әрқашан осылай қиылысады – бұл E-нің теріс өзімен қиылысуына қайшы келеді.) Сондықтан бұл бөлгіш ерекше деп аталады. V – Z-дан басқа X-тің кез келген субкөптүрлілігі болсын. Егер V, Z-дан бөлек болса, онда ол Z бойынша көтеруден іс жүзінде әсер етпейді. Бірақ, егер ол Z-ды қисаса, онда көтеруде V-нің екі ерекше аналогы болады. Бірі – дұрыс (немесе қатаң) түрлендіру, ол жабылу болып табылады; оның қалыпты шоғы X-те V-тің қалыпты шоғынан әдетте өзгеше болады. Екіншісі – толық түрлендіру, ол E-нің бір бөлігін немесе барлығын қамтиды; бұл негізінен V-тің когомологиядағы кері бейнесі.
is a birational mapping which, away from E, induces an isomorphism, and, on E, a locally trivial fibration with fiber Pk 1. Indeed, the restriction is naturally seen as the projectivization of the normal bundle of Z in X. Since E is a smooth divisor, its normal bundle is a line bundle. It is not difficult to show that E intersects itself negatively. This means that its normal bundle possesses no holomorphic sections; E is the only smooth complex representative of its homology class in (Suppose E could be perturbed off itself to another complex submanifold in the same class. Then the two submanifolds would intersect positively — as complex submanifolds always do — contradicting the negative self intersection of E.) This is why the divisor is called exceptional. Let V be some submanifold of X other than Z. If V is disjoint from Z, then it is essentially unaffected by blowing up along Z. However, if it intersects Z, then there are two distinct analogues of V in the blow up One is the proper (or strict) transform, which is the closure of ; its normal bundle in is typically different from that of V in X. The other is the total transform, which incorporates some or all of E; it is essentially the pullback of V in cohomology.
Ерекше бөлгіштер
Жарылудың ерекше бөлгіші – идеалдық шоғырдың кері бейнесімен анықталатын қосалқы схема, оны кейде E деп белгілейді. Proj терминдерімен жарылудың анықтамасынан келіп, бұл қосалқы схема E идеалдық шоғырмен анықталады. Бұл идеалдық шоғыр π үшін де туыс болып табылады.
π ерекше бөлгіштен тыс изоморфизм болып табылады, бірақ ерекше бөлгіш π-нің ерекше локусында болуы міндетті емес. Яғни, π, E-де изоморфизм болуы мүмкін. Мысалы, бұл жағдай, егер идеалдық шоғыр бастапқыда инверттенген болса, кездеседі. Атап айтқанда, мұндай жағдайларда π морфизмі ерекше бөлгішті анықтамайды. Ерекше локусы ерекше бөлгіштен қатаң кішірек болатын тағы бір жағдай – X сингулярлыққа ие болғанда. Мысалы, X, P1 × P1 үстіндегі аффинді конус болсын. X, A4-те xw – yz жоғалу орны ретінде беріледі. (x, y) және (x, z) идеалдары екі жазықтықты анықтайды, олардың әрқайсысы X-тің төбесі арқылы өтеді. Төбеден тыс, бұл жазықтықтар X-тегі гипербеттер болып табылады, сондықтан жарылу сол жерде изоморфизм болып табылады. Сондықтан, осы жазықтықтың кез келгенінің жарылуының ерекше локусы конустың төбесіне ортасталған, демек, ол ерекше бөлгіштен қатаң кішірек.