Введение

Математическое понятие раздутия

В математике раздутие или раздув — это тип геометрического преобразования, которое заменяет подпространство данного пространства пространством всех направлений, исходящих из этого подпространства. Например, раздутие точки на плоскости заменяет эту точку проективизированным касательным пространством в этой точке. Метафора заключается в увеличении части изображения при приближении к фотографии, а не в ссылке на взрыв. Раздутия — это наиболее фундаментальное преобразование в бирациональной геометрии, поскольку каждый бирациональный морфизм между проективными многообразиями является раздутием. Теорема о слабой факторизации утверждает, что каждое бирациональное отображение можно разложить на композицию особенно простых раздутий. Кремонова группа, группа бирациональных автоморфизмов плоскости, порождается раздутиями. Помимо их важности в описании бирациональных преобразований, раздутия также являются важным способом построения новых пространств. Например, большинство процедур разрешения особенностей происходят путем раздутия особенностей до тех пор, пока они не станут гладкими. Следствием этого является то, что раздутия можно использовать для разрешения особенностей бирациональных отображений. Классически раздутия определялись экстринсически, сначала определяя раздутие на пространствах, таких как проективное пространство, используя явное построение в координатах, а затем определяя раздутия на других пространствах с точки зрения вложения. Это отражено в некоторой терминологии, например, в классическом термине моноидальное преобразование. Современная алгебраическая геометрия рассматривает раздутие как внутреннюю операцию на алгебраическом многообразии. С этой точки зрения раздутие является универсальным (в смысле теории категорий) способом превратить подмногообразие в делитель Картье. Раздутие также может называться моноидальным преобразованием, локально квадратичным преобразованием, дилатацией, σ-процессом или отображением Хопфа.

Взрыв подмножества в сложных множествах

Более общим образом, можно взорвать любое комплексное подмногообразие Z кодимензии k в Cn. Предположим, что Z задаётся уравнениями , и пусть — однородные координаты на Pk-1. Тогда взрыв — это множество уравнений для всех i и j в пространстве Cn × Pk-1. Более общим образом, можно взорвать любое подмногообразие любого комплексного многообразия X, применяя эту конструкцию локально. Эффект, как и прежде, заключается в замене локуса взрыва Z исключительным делителем E. Иными словами, отображение взрыва — это бирациональное отображение, которое, за исключением E, индуцирует изоморфизм, а на E — локально тривиальную расслоенность с волокном Pk-1. Действительно, ограничение естественно рассматривается как проективизация нормального расслоения Z в X. Поскольку E — гладкий делитель, его нормальное расслоение — это прямое расслоение. Несложно показать, что E самопересекается отрицательно. Это означает, что его нормальное расслоение не имеет голоморфных сечений; E — единственный гладкий комплексный представитель своего класса гомологии в (Предположим, что E можно деформировать в другое комплексное подмногообразие того же класса. Тогда два подмногообразия пересекались бы положительно — как это всегда делают комплексные подмногообразия — что противоречит отрицательному самопересечению E.) Именно поэтому делитель называется исключительным. Пусть V — некоторое подмногообразие X, отличное от Z. Если V не пересекается с Z, то взрыв вдоль Z практически не влияет на V. Однако, если V пересекает Z, то в взрыве существует два различных аналога V. Один из них — собственное (или строгое) преобразование, которое является замыканием ; его нормальное расслоение в обычно отличается от нормального расслоения V в X. Другой — полное преобразование, которое включает в себя некоторые или все компоненты E; по сути, это индуцированное V в когомологиях.

Исключительные делители

Исключительным делителем при взрыве является подсхема, определяемая обратным образом идеального пучка, который иногда обозначается. Из определения взрыва в терминах Proj следует, что эта подсхема E определяется идеальным пучком. Этот идеальный пучок также является относительным для π.

π является изоморфизмом вне исключительного делителя, но исключительный делитель не обязательно должен содержаться в исключительной области π. То есть, π может быть изоморфизмом на E. Это происходит, например, в тривиальной ситуации, когда уже является инвертируемым пучком. В частности, в таких случаях морфизм π не определяет исключительный делитель. Другая ситуация, когда исключительная область может быть строго меньше исключительного делителя, возникает, когда X имеет сингулярности. Например, пусть X будет аффинным конусом над P1 × P1. X можно задать как множество нулей xw − yz в A4. Идеалы (x, y) и (x, z) определяют две плоскости, каждая из которых проходит через вершину X. Вдали от вершины эти плоскости являются гиперповерхностями в X, поэтому взрыв является изоморфизмом в этой области. Исключительная область взрыва любой из этих плоскостей, следовательно, сосредоточена над вершиной конуса и, как следствие, строго меньше исключительного делителя.