Кіріспе
Фазалық ауысудың сипаты фотолитографиядағы ең кішкентай ерекшелік өлшемін өзгертетін кеңістіктің өлшемділігі. Физикадағы фазалық ауысуларды зерттеудегі қайта нормалау тобының талдауында, фазалық ауысудың сипаты өзгеретін кеңістіктің өлшемділігі – сындық өлшем болып табылады. Сындық өлшемнің төменгі шегінен төмен фазалық ауысу болмайды. Сындық өлшемнің жоғарғы шегінен жоғары теорияның сындық көрсеткіштері орташа өріс теориясындағы көрсеткіштермен бірдей болады. В. Гинцбургке тиесілі, орташа өріс теориясы шеңберінде сындық өлшемді анықтаудың әдемі критерийі бар. Қайта нормалау тобы фазалық ауысу мен кванттық өріс теориясы арасында байланыс орнатып, осының салдарынан соңғысына және жалпы ренормализацияны түсінуге әсер етеді. Жоғарғы сындық өлшемнен жоғары, фазалық ауысу моделіне жататын кванттық өріс теориясы – еркін өріс теориясы болып табылады. Төменгі сындық өлшемнен төмен, модельге сәйкес келетін өріс теориясы жоқ. Ішектік теория контекстінде мағынасы шектеулі: сындық өлшем – тұрақты дилатондық фонды қабылдағанда, және фондық сәулелену әсерінен туындаған қосымша қиындықтар болмағанда ішектік теорияның дұрыс болуын қамтамасыз ететін өлшем. Нақты мәні әлемдік бетіндегі конформальды аномалияның толық жойылуымен анықталады; ол бозондық ішектік теория үшін 26, ал суперішектік теория үшін 10-ға тең.
the minimum feature size in photolithography
In the renormalization group analysis of phase transitions in physics, a critical dimension is the dimensionality of space at which the character of the phase transition changes. Below the lower critical dimension there is no phase transition. Above the upper critical dimension the critical exponents of the theory become the same as that in mean field theory. An elegant criterion to obtain the critical dimension within mean field theory is due to V. Ginzburg. Since the renormalization group sets up a relation between a phase transition and a quantum field theory, this has implications for the latter and for our larger understanding of renormalization in general. Above the upper critical dimension, the quantum field theory which belongs to the model of the phase transition is a free field theory. Below the lower critical dimension, there is no field theory corresponding to the model. In the context of string theory the meaning is more restricted: the critical dimension is the dimension at which string theory is consistent assuming a constant dilaton background without additional confounding permutations from background radiation effects. The precise number may be determined by the required cancellation of conformal anomaly on the worldsheet; it is 26 for the bosonic string theory and 10 for superstring theory.
Төменгі критикалық өлшем
Берілген универсалдылық класының фазалық өтуінің төменгі критикалық өлшемі – бұл өлшемді термодинамикалық тұрақтылықтан бастап арттырғанда, осы фазалық өтудің орын алмауының соңғы өлшемі. Реттелген фазаның термодинамикалық тұрақтылығы энтропия мен энергияға байланысты. Сапалық тұрғыдан, бұл домен қабырғаларының типіне және олардың флуктуациялық режимдеріне байланысты. Далалық теорияның төменгі критикалық өлшемін шығарудың жалпы формальды жолы жоқ сияқты. Статистикалық механика аргументтерімен төменгі шекараларды алуға болады. Біріншіден, қысқа қашықтықтағы өзара әрекеттесулері бар бір өлшемді жүйені қарастырайық. Домен қабырғасын жасау үшін белгілі бір мөлшерде энергия қажет. Бұл энергияны басқа да еркіндік дәрежелерінен алу энтропияны азайтады. Бұл энтропия өзгерісі домен қабырғасының өзінің энтропиясымен салыстырылуы керек. Ұзындығы бар жүйеде домен қабырғасының орналасуы бар, бұл (Болцман принципіне сәйкес) энтропияның өсуіне әкеледі. Температура нөлден жоғары және жеткілікті үлкен болса, энтропияның өсуі әрқашан басым болады, сондықтан қысқа қашықтықтағы өзара әрекеттесулері бар бір өлшемді жүйелерде фазалық өту болмайды. Осылайша, кеңістіктік өлшем мұндай жүйелердің төменгі критикалық өлшемі үшін төменгі шекара болып табылады. Ұқсас аргументтерді қолдану арқылы және үздіксіз симметриясы бар реттік параметр арқылы қысқа қашықтықтағы өзара әрекеттесулері бар жүйелер үшін күштірек төменгі шекараны алуға болады. Бұл жағдайда Мермин-Вагнер теоремасы бойынша реттік параметрдің күтілетін мәні нөлде жоғалады, сондықтан әдеттегі типтегі фазалық өту нөлде де, одан төмен де болмайды. Бұзылған жүйелер үшін Имри мен Ма берген критерий маңызды болуы мүмкін. Бұл авторлар кездейсоқ өріс магниттерінің төменгі критикалық өлшемін анықтау үшін осы критерийді қолданды.
Thermodynamic stability of an ordered phase depends on entropy and energy. Quantitatively this depends on the type of domain walls and their fluctuation modes. There appears to be no generic formal way for deriving the lower critical dimension of a field theory. Lower bounds may be derived with statistical mechanics arguments. Consider first a one dimensional system with short range interactions. Creating a domain wall requires a fixed energy amount Extracting this energy from other degrees of freedom decreases entropy by This entropy change must be compared with the entropy of the domain wall itself. In a system of length there are positions for the domain wall, leading (according to Boltzmann's principle) to an entropy gain For nonzero temperature and large enough the entropy gain always dominates, and thus there is no phase transition in one dimensional systems with short range interactions at Space dimension thus is a lower bound for the lower critical dimension of such systems. A stronger lower bound can be derived with the help of similar arguments for systems with short range interactions and an order parameter with a continuous symmetry. In this case the Mermin–Wagner Theorem states that the order parameter expectation value vanishes in at , and there thus is no phase transition of the usual type at and below. For systems with quenched disorder a criterion given by Imry and Ma might be relevant. These authors used the criterion to determine the lower critical dimension of random field magnets.