Введение

Размерность пространства, при которой меняется характер фазового перехода, соответствует минимальному разрешаемому размеру в фотолитографии. В анализе ренормализационной группы фазовых переходов в физике критическая размерность – это размерность пространства, при которой изменяется характер фазового перехода. Ниже нижней критической размерности фазовый переход не происходит. Выше верхней критической размерности критические показатели теории становятся такими же, как в теории среднего поля. Элегантный критерий для определения критической размерности в рамках теории среднего поля был предложен В. Гинзбургом. Поскольку ренормализационная группа устанавливает связь между фазовым переходом и квантовой теорией поля, это имеет последствия для последней и для более широкого понимания ренормализации в целом. Выше верхней критической размерности квантовая теория поля, соответствующая модели фазового перехода, является теорией свободного поля. Ниже нижней критической размерности теория поля, соответствующая модели, отсутствует. В контексте теории струн значение критической размерности более ограничено: это размерность, при которой теория струн является самосогласованной при условии постоянного дилатонного фона без дополнительных усложняющих эффектов фонового излучения. Точное значение определяется необходимым условием компенсации конформной аномалии на мировой поверхности; оно равно 26 для бозонной теории струн и 10 для суперструнной теории.

Нижний критический размер

Нижнее критическое измерение фазового перехода заданного класса универсальности — это последнее измерение, при котором данный фазовый переход не происходит при увеличении размерности, начиная с нуля. Термодинамическая стабильность упорядоченной фазы зависит от энтропии и энергии. Количественно это определяется типом доменных стенок и их модами колебаний. Не существует универсального формального способа вывода нижнего критического измерения для теории поля. Нижние границы могут быть получены с использованием аргументов статистической механики. Рассмотрим сначала одномерную систему с взаимодействиями короткого радиуса действия. Создание доменной стенки требует определенного количества энергии. Извлечение этой энергии из других степеней свободы уменьшает энтропию на величину ΔS. Это изменение энтропии необходимо сравнить с энтропией самой доменной стенки. В системе длиной L существует L возможных положений для доменной стенки, что приводит (согласно принципу Больцмана) к увеличению энтропии. При ненулевой температуре T и достаточно большой длине L, увеличение энтропии всегда преобладает, и, следовательно, фазового перехода в одномерных системах с взаимодействиями короткого радиуса действия не происходит. Пространственная размерность, таким образом, является нижней границей для нижнего критического измерения таких систем. Более строгая нижняя граница может быть получена с помощью аналогичных аргументов для систем с взаимодействиями короткого радиуса действия и параметром порядка с непрерывной симметрией. В этом случае теорема Мермина — Вагнера утверждает, что математическое ожидание параметра порядка обращается в нуль при T=0, и, следовательно, фазового перехода обычного типа при T=0 и ниже не происходит. Для систем с замороженными беспорядками может быть полезен критерий, предложенный Имри и Ма. Эти авторы использовали этот критерий для определения нижнего критического измерения случайных магнитных полей.