Кіріспе
Кванттық деңгейдегі конформдық симметрияның бұзылуы. Конформдық аномалия, масштабтық аномалия, із аномалиясы немесе Вейль аномалиясы – аномалия, яғни классикалық теорияның конформдық симметриясын бұзатын кванттық құбылыс. Кванттық өріс теориясында, нөлге теңелгенде, тек Фейнман ағашы диаграммалары ғана болады, ол «классикалық» теория (классикалық өріс теориясының Фредхолм формуласына балама). Бір циклдік (N циклдік) Фейнман диаграммалары пропорционалды. Егер ток классикалық түрде сақталса, бірақ циклдік деңгейде дивергенция дамытса, кванттық өріс теориясында «аномалия» бар деуге болады. Белгілі мысал – массасыз фермиондардың классикалық түрде сақталатын осьтік тогы, бірақ өлшегіш өрістердің қатысуымен нөлден өзгеше дивергенция дамытатын осьтік ток аномалиясы. Массалық масштабтары жоқ масштабтық инвариант теорияда «масштабтық ток» деп аталатын Нотер тогы сақталады. Бұл кеңістік-уақыт координаттарына масштабтық түрлендірулер қолдану арқылы туындайды. Масштабтық токның дивергенциясы кернеу тензорының іздерімен анықталады. Кез келген массалық масштабтың болмауында кернеу тензорының іздері нөлге тең, сондықтан ток «классикалық түрде сақталады» және теория классикалық түрде масштабтық инвариант болып табылады. Дегенмен, циклдік деңгейде масштабтық ток нөлден өзгеше дивергенция дамыта алады. Бұл «масштабтық аномалия» немесе «із аномалиясы» деп аталады және кванттық механика арқылы массаның пайда болуын көрсетеді. Бұл қайта нормалау тобымен немесе «қосылу тұрақтыларының өзгеруімен» байланысты, оларды әртүрлі массалық масштабтарда қарағанда. Бұл гравитацияға сілтеме жасамай тұрып тұжырымдауға болады, бірақ жалпы салыстырмалылық теориясы ескерілгенде күштірек болады. Кездейсоқ фондық метрикасы бар классикалық конформдық теорияда, фондық метриканың және басқа да материялық өрістердің қайта масштабталуы кезінде инвариантты әрекет болады, бұл Вейль түрлендірулері деп аталады. Егер координаттарды қайта масштабтасақ, бұл жалпы координаталық түрлендіру болып табылады және жалпы салыстырмалылықтың нақты симметриясы – жалпы коварианттықпен бірігеді, сондықтан масштабтық симметрияны тұжырымдаудың қанағаттандырмас тәсілі болады (жалпы коварианттық сақталатын кернеу тензорын білдіреді; «гравитациялық аномалия» жалпы коварианттықтың кванттық бұзылуын білдіреді және оны Вейль (масштаб) инварианттылығымен шатастыруға болмайды). Алайда, Вейль түрлендірулері кезінде теорияның координаттарын емес, метриканы және басқа да материялық өрістерді қайта масштабтаймыз. Вейльдің мағынасында, масса (немесе ұзындық) метрикамен анықталады, ал координаттар жай ғана масштабсыз тіркеу құралдары болып табылады. Сондықтан Вейль симметриясы гравитация енгізілген кезде масштабтық симметрияның дұрыс тұжырымы болып табылады және сақталатын Вейль тогы болады. Төрт өлшемде Вейль симметриясының спонтанды түрде бұзылуына қатысты, инфляциямен бірге динамикалық түрде Планк массасын тудыратын кең әдебиет бар. Бұл теориялар байқау космологиясымен жақсы сәйкес келеді. Сондықтан конформдық кванттық теория – бұл жол интегралы немесе бөліну функциясы метриканы (басқа өрістермен бірге) қайта масштабтағанда өзгермейтін теория. Әрекеттің фондық метрикаға қатысты өзгеруі кернеу тензорына пропорционалды, сондықтан конформдық қайта масштабтауға қатысты өзгеруі кернеу тензорының іздеріне пропорционалды. Нәтижесінде, конформдық инвариант теориясы үшін кернеу тензорының іздері нөлге тең болуы керек. Кернеу тензорының іздері Вейль тогының дивергенциясында аномалия ретінде пайда болады, осылайша теорияның Вейль (немесе Масштаб) инварианттылығын бұзады.
A conformal anomaly, scale anomaly, trace anomaly or Weyl anomaly is an anomaly, i. e. a quantum phenomenon that breaks the conformal symmetry of the classical theory. In quantum field theory when we set to zero we have only Feynman tree diagrams, which is a "classical" theory (equivalent to the Fredholm formulation of a classical field theory). One loop (N loop) Feynman diagrams are proportional to If a current is conserved classically but develops a divergence at loop level in quantum field theory , we say there is an "anomaly." A famous example is the axial current anomaly where massless fermions will have a classically conserved axial current, but which develops a nonzero divergence in the presence of gauge fields. A scale invariant theory, one in which there are no mass scales, will have a conserved Noether current called the "scale current." This is derived by performing scale transformations on the coordinates of space time. The divergence of the scale current is then the trace of the stress tensor. In the absence of any mass scales the stress tensor trace vanishes , hence the current is "classically conserved" and the theory is classically scale invariant. However, at loop level the scale current can develop a nonzero divergence. This is called the "scale anomaly" or "trace anomaly" and represents the generation of mass
by quantum mechanics. It is related to the renormalization group,
or the "running of coupling constants," when they are viewed at different mass scales. While this can be formulated without reference to gravity, it becomes more powerful
when general relativity is considered. A classically conformal theory with arbitrary background metric has an action that is invariant under rescalings of the background metric and other matter fields,
called Weyl transformations. Note that if we rescale the coordinates this is a general coordinate transformation, and merges with general covariance, the exact symmetry of general relativity, and thus it becomes an unsatisfactory way to formulate scale symmetry (general covariance implies a conserved stress tensor; a "gravitational anomaly" represents a quantum breakdown of general covariance, and should not be confused with Weyl (scale) invariance). However, under Weyl transformations we do not rescale the coordinates of the theory, but rather the metric and other matter fields. In the sense of Weyl, mass (or length) are defined by the metric, and coordinates are simply scale less book keeping devices. Hence Weyl symmetry is the correct statement of scale symmetry when gravitation is incorporated
and there will then be a conserved Weyl current. There is an extensive literature involving spontaneous breaking of Weyl symmetry in
four dimensions, leading to a dynamically generate Planck mass together with inflation. These theories appear to be in good agreement with observational cosmology. A conformal quantum theory is therefore one whose path integral, or partition function, is unchanged by rescaling the metric (together with other fields). The variation of the action with respect to the background metric is proportional to the stress tensor, and therefore the variation with respect to a conformal rescaling is proportional to the trace of the stress tensor. As a result, the trace of the stress tensor must vanish for a conformally invariant theory. The trace of the stress tensor appears in the divergence of the Weyl current as an anomaly, thus breaking the Weyl (or Scale) invariance of the theory.
Сызық теориясы
Сызық теориясы классикалық түрде масштаб бойынша инвариант емес, себебі ол массивті "сызық тұрақтысымен" анықталады. Сызық теориясында әлемдік беттегі конформдық симметрия – жергілікті Вейль симметриясы болып табылады. Сонымен қатар, екі өлшемде потенциалды гравитациялық аномалия бар, демек, теория дұрыс болуы үшін бұл аномалияны жою қажет. Гравитациялық аномалияны жою қажеттігі кеңістік-уақыттың өлшемділігі бозондық сызық теориясы үшін 26-ға, ал суперсызық теориясы үшін 10-ға тең болуы керек екенін көрсетеді. Бұл жағдай сындық сызық теориясы деп аталады. Сындық емес сызық теориясы деп аталатын баламалы тәсілдер де бар, онда кеңістік-уақыттың өлшемдері бозондық теория үшін 26-дан кем немесе суперсызық үшін 10-нан кем болуы мүмкін, яғни төрт өлшемді жағдай осы контексте мүмкін. Дегенмен, жазық кеңістіктің жарамды фон болатындығы сияқты кейбір интуитивті постулаттардан бас тарту қажет.