Кіріспе
Дивергентті интегралдарды бағалау әдісі NOTOC Теориялық физикада өлшемдік реттеу – Гиамбиаги мен Боллини, сондай-ақ тәуелсіз және толыққанды түрде 'т Хоофт пен Велтман Фейнман диаграммаларын бағалаудағы интегралдарды реттеу үшін енгізген әдіс; яғни, оларға күрделі параметрдің мероморфтық функциялары болып табылатын мәндерді беру, кеңістік-уақыт өлшемдері санының аналитикалық жалғасы. Өлшемдік реттеу Фейнман интегралын d кеңістік-уақыт өлшеміне және онда кездесетін xi кеңістік-уақыт нүктелерінің (xi−xj)2 квадрат қашықтығына тәуелді интеграл ретінде жазады. Евклид кеңістігінде интеграл көбінесе −Re(d) жеткілікті үлкен болғанда жинақталады және осы аймақтан барлық күрделі d үшін анықталған мероморфтық функцияға аналитикалық түрде жалғастырылуы мүмкін. Әдетте, d-нің физикалық мәнінде (көбінесе 4) полюс болады, оны физикалық шамаларды алу үшін қайта нормалау арқылы жою қажет. Олар өлшемдік реттеудің математикалық жағынан дұрыс екенін көрсетті, кем дегенде, массивті Евклид өрістері үшін, аналитикалық жалғастыруды жүргізу үшін Бернштейн–Сато полиномын қолдану арқылы. Бұл әдіс полюстер алынғанда және d қайтадан 4-ке ауыстырылғанда жақсы түсінілсе де, теорияның Вильсон–Фишер тұрақты нүктесі сияқты күшті байланысқандай көрінетін басқа бір бүтін санға жақындағанда да кейбір сәттіліктерге жетті. Әрі қадам – бөлшек өлшемдер арқылы интерполяцияны қабылдау. Бұл кейбір авторларды өлшемдік реттеуді макроскопиялық тұрғыдан фрактал болып көрінетін кристалдардың физикасын зерттеу үшін қолдануға болатынын ұсынды. Зета функциясының реттелуі мен өлшемдік реттелуі эквивалентті екендігі айтылды, себебі олар серияның немесе интегралдың жинақталуы үшін аналитикалық жалғастыруды пайдаланудың бірдей принципін қолданады.
NOTOC
In theoretical physics, dimensional regularization is a method introduced by Giambiagi and Bollini as well as – independently and more comprehensively – by 't Hooft and Veltman for regularizing integrals in the evaluation of Feynman diagrams; in other words, assigning values to them that are meromorphic functions of a complex parameter d, the analytic continuation of the number of spacetime dimensions. Dimensional regularization writes a Feynman integral as an integral depending on the spacetime dimension d and the squared distances (xi−xj)2 of the spacetime points xi, appearing in it. In Euclidean space, the integral often converges for −Re(d) sufficiently large, and can be analytically continued from this region to a meromorphic function defined for all complex d. In general, there will be a pole at the physical value (usually 4) of d, which needs to be canceled by renormalization to obtain physical quantities. showed that dimensional regularization is mathematically well defined, at least in the case of massive Euclidean fields, by using the Bernstein–Sato polynomial to carry out the analytic continuation. Although the method is most well understood when poles are subtracted and d is once again replaced by 4, it has also led to some successes when d is taken to approach another integer value where the theory appears to be strongly coupled as in the case of the Wilson–Fisher fixed point. A further leap is to take the interpolation through fractional dimensions seriously. This has led some authors to suggest that dimensional regularization can be used to study the physics of crystals that macroscopically appear to be fractals. It has been argued that Zeta function regularization and dimensional regularization are equivalent since they use the same principle of using analytic continuation in order for a series or integral to converge.
Мысал: шексіз зарядталған сызықтың потенциалы
Жүк тығыздығы бар шексіз зарядталған сызықты қарастырайық, және сызықтан белгілі бір қашықтықтағы нүктенің потенциалын есептейміз. Интеграл жақындаспайды: мұнда.
Зарядталған сызықтың 1 өлшемді "сфералық симметриясы" бар (бір өлшемде бұл жай ғана көпір симметриясы), сондықтан интегралды сфералық симметрияны пайдалану үшін қайта жазуға болады: мұнда біз алдымен бірлік ұзындығымен бөліп, ұзындыққа тәуелділікті жойдық, содан кейін интегралды 1 сфера бойынша интегралға, одан кейін 1 сфераның барлық радиустары бойынша интегралға айналдырдық. Енді бұл өлшемді d өлшемге жалпылаймыз. d өлшемді сфераның көлемі , мұнда гамма функциясы. Енді интеграл келесідей болады. қашан , интегралдың басым бөлігі оның соңғы бөлігінде болады, яғни, (үлкен тета нотациясымен). Осылайша, , демек, электр өрісі де солай болуы керек.