Введение
Метод оценки расходящихся интегралов NOTOC
NOTOC
В теоретической физике размерная регуляризация — это метод, введенный Джамбиаги и Боллини, а также независимо и более полно — 't Хоофтом и Велтманом для регуляризации интегралов при вычислении диаграмм Фейнмана; иными словами, присвоение им значений, являющихся мероморфными функциями комплексного параметра d, аналитического продолжения числа пространственно-временных измерений. Размерная регуляризация представляет интеграл Фейнмана как интеграл, зависящий от пространственно-временного измерения d и квадратов расстояний (xi−xj)2 между точками пространства-времени xi, входящими в него. В евклидовом пространстве интеграл часто сходится при достаточно большом −Re(d) и может быть аналитически продолжен из этой области в мероморфную функцию, определенную для всех комплексных d. Как правило, существует полюс при физическом значении (обычно 4) d, который необходимо устранить посредством перенормировки для получения физических величин. Было показано, что размерная регуляризация математически корректно определена, по крайней мере, в случае массивных евклидовых полей, с использованием полинома Бернштейна — Сато для выполнения аналитического продолжения. Хотя метод лучше всего изучен, когда полюса вычитаются и d снова заменяется на 4, он также привел к некоторым успехам, когда d приближается к другому целому значению, при котором теория, по-видимому, сильно взаимодействует, как в случае фиксированной точки Уилсона — Фишера. Дальнейшим шагом является серьезное рассмотрение интерполяции через дробные измерения. Это побудило некоторых авторов предположить, что размерная регуляризация может быть использована для изучения физики кристаллов, которые макроскопически выглядят как фракталы. Утверждается, что дзета-функционная регуляризация и размерная регуляризация эквивалентны, поскольку они используют один и тот же принцип — аналитическое продолжение — для обеспечения сходимости ряда или интеграла.
Пример: потенциал бесконечной заряженной линии
Рассмотрим бесконечную заряженную линию с плотностью заряда ρ, и вычислим потенциал точки на расстоянии r от линии. Интеграл расходится:
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
∫ dr' / r' = ∞
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
Поскольку заряженная линия обладает одномерной "сферической симметрией" (которая в одном измерении является просто зеркальной симметрией), мы можем переписать интеграл, чтобы воспользоваться этой симметрией:
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
∫ dr' / r' = ∫ dΩ₁ ∫ r₁ dr₁
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
где мы сначала избавились от зависимости от длины, поделив на единичную длину, затем преобразовали интеграл по r' в интеграл по 1-сфере dΩ₁, а затем в интеграл по всем радиусам 1-сферы r₁. Теперь обобщим это на d измерений. Объем d-сферы равен Vd = π^(d/2) / Γ(d/2 + 1), где Γ – гамма-функция. Теперь интеграл примет вид:
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
∫ dr' / r'^d = π^(d/2) / Γ(d/2 + 1)
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
Когда d > 2, интеграл определяется его "хвостом", то есть:
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
∫ dr' / r'^d ≈ 1/r^(d-1)
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.
Таким образом, потенциал расходится как 1/r^(d-1), и, следовательно, электрическое поле равно E ≈ 1/r^d, что и ожидалось.
Since the charged line has 1 dimensional "spherical symmetry" (which in 1 dimension is just mirror symmetry), we can rewrite the integral to exploit the spherical symmetry:where we first removed the dependence on length by dividing with a unit length , then converted the integral over into an integral over the 1 sphere , followed by an integral over all radii of the 1 sphere. Now we generalize this into dimension The volume of a d sphere is , where is the gamma function. Now the integral becomes When , the integral is dominated by its tail, that is, where (in big theta notation). Thus , and so the electric field is , as it should.