Кіріспе

Математикалық әдіс

Үлкен сырға – сандық теорияның аналитикалық әдісі (немесе әдістер тобы және байланысты идеялар). Бұл – қалдықтар кластарының жартысына дейін шығарылатын, кішкентай сырғаларға, мысалы, Зельберг сырғасына қарағанда өзгешеленетін сырға түрі. Әдіс үлкен сырға арқылы одан әрі күшейтілді, ол кез келген саны қалдықтар кластарын шығарады.

Атауы

Оның атауы бастапқы қолданылуынан туындайды: S жинағының элементтері әрбір p жай саны бойынша Ap ⊂ Z/p Z жинағына жатуына тыйым салынған жағдайда, S қаншалықты үлкен болуы мүмкін? Мұнда Ap үлкен деп есептеледі, яғни p-нің тұрақты есесінен кем емес; егер олай болмаса, кішкентай ілкіш туралы айтамыз.

Тарих

Үлкен сырғаның алғашқы тарихы 1941 жылы Ю.Б. Линник ең кіші квадраттық қалдықсыздық мәселесін зерттеген жұмысына қайнар көз. Кейін Альфред Рени ықтималдық әдістерін қолдана отырып, осы мәселені зерттеді. Бірақ, үлкен сырға тек екі онжылдықтан кейін, көптеген ғалымдардың еңбегінен соң, нақтырақ түсінікпен формулировкаланды. Бұл 1960-шы жылдардың басында Клаус Рот пен Энрико Бомбиэридің тәуелсіз жұмыстарында орын алды. Осы кезеңде дуальдық принциппен байланысы да жақсырақ түсінілді. 1960 жылдардың ортасында Бомбейри-Виноградов теоремасы Дирихле белгілерінің орташа мәндерін бағалау арқылы үлкен сырғаның маңызды қолданылуы ретінде дәлелденді. 1960 жылдардың соңы мен 1970 жылдардың басында Патрик Х. Галлахер көптеген маңызды элементтер мен бағалауларды жеңілдетіп, жаңаша қарастырды.

Даму

Үлкен сырғалау әдістері жеткілікті деңгейде дамыған, сондықтан оларды кішкентай сырғалау жағдайларында да қолдануға болады. Бір нәрсені үлкен сырғамен байланысты деп санау, көбінесе жоғарыда сипатталған жағдаймен байланысты болуына қарамастан, егер ол үлкен сырғалау нәтижесіне жету үшін дәстүрлі түрде қолданылатын екі дәлелдеу тәсілінің бірін қамтитын болса, осыған байланысты болады.

Дуальдық принцип

Функционалдық талдаудан келесі негізгі фактіні ескере отырып, күшті үлкен сілем нәтижесін оңай дәлелдеуге болады: сызықтық оператордың нормасы (яғни, V сызықтық кеңістігінен W сызықтық кеңістігіне оператор болатын A) оның түйіндес операторының нормасына тең, яғни, . Бұл принциптің өзі математикалық әдебиеттің кейбір бөлігінде "үлкен сілем" деп аталады. Үлкен сілемді Сельберг стиліндегі майоранттар арқылы да алуға болады (Сельберг, Жиналған еңбектер, II том, Сілемдер туралы лекциялар).