Введение

Математический метод

Большое сито — это метод (или семейство методов и связанных идей) в аналитической теории чисел. Это тип сита, при котором удаляется до половины всех классов вычетов чисел, в отличие от малых сит, таких как сито Сельберга, где удаляется лишь небольшое количество классов вычетов. Метод был дополнительно усилен благодаря большему ситу, которое удаляет произвольное количество классов вычетов.

Имя

Его название происходит от первоначальной задачи, для которой он был разработан: дано множество, элементы которого S не должны принадлежать ни одному из множеств Ap ⊂ Z/p Z по модулю каждого простого числа p, какой максимальный размер может иметь S? Здесь под Ap подразумевается большое множество, то есть множество, размер которого не меньше константы, умноженной на p; в противном случае говорят о малом сите.

История

История развития метода большого решета восходит к работам Ю. Б. Линника в 1941 году, когда он занимался проблемой наименьшего квадратичного невычета. Впоследствии Альфред Реньи изучал этот метод, используя вероятностные методы. Лишь два десятилетия спустя, после значительного числа работ других исследователей, большое решето было сформулировано в более четкой форме. Это произошло в начале 1960-х годов в независимых работах Клауса Рота и Энрико Бомбиери. Примерно в это же время стало лучше пониматься его связь с принципом двойственности. В середине 1960-х годов теорема Бомбиери — Виноградова была доказана как важное применение метода большого решета с использованием оценок средних значений символов Дирихле. В конце 1960-х и начале 1970-х годов Патрик X. Галлахер упростил многие ключевые элементы и оценки, используемые в этом методе.

Разработка

Методы больших сит достаточно развиты, чтобы быть применимыми и к ситуациям с малым числом сит. Обычно что-либо считается относящимся к большому ситу не обязательно в зависимости от того, связано ли это с типом ситуации, описанной выше, а скорее, если в нем используется один из двух методов доказательства, традиционно применяемых для получения результата большого сита.

Принцип двойственности

Можно легко доказать сильный результат большого решета, заметив следующий основной факт из функционального анализа: норма линейного оператора (т. е. где A — оператор из линейного пространства V в линейное пространство W) равна норме его сопряженного, т. е. Сам этот принцип получил название "большое решето" в некоторых математических публикациях. Также возможно вывести большое решето из мажорант в стиле Сельберга (см. Сельберг, Собрание трудов, том II, Лекции о решетах).