Кіріспе

Математикалық физикада қолданылатын әдіс. Физикада, әсіресе кванттық өріс теориясында, реттеу – сингулярлықтары бар өлшенетін шамаларды, оларды шекті ету үшін, реттегіш деп аталатын сәйкес параметрді енгізу арқылы өзгерту әдісі. Реттегіш, сондай-ақ "шегінді" деп те аталады, байқалмаған масштабтардағы (мысалы, кішкентай өлшемдердегі немесе жоғары энергия деңгейлеріндегі) физика туралы біліміміздің жетіспеуін модельдейді. Ол осы теорияның модельдей алмайтын масштабтарда "жаңа физиканың" табылу мүмкіндігін (және қажеттілігін) ескереді, сонымен бірге қазіргі теорияға оның қолданылу масштабында "тиімді теория" ретінде дәл болжамдар жасауға мүмкіндік береді. Бұл жаңа физиканы қабылдамай, өзіндік әсердің кері байланысын түзету арқылы шексіздіктерді басқарудың тағы бір әдісі болып табылатын қайта нормалаудан ерекшеленеді. Реттеу көптеген жылдар бойы тіпті оның ойлап тапқандарының арасында да дау тудырды, себебі ол физикалық және эпистемологиялық талаптарды бірдей теңдеулерге біріктіреді. Дегенмен, қазір оның мәні жақсы түсінілді және пайдалы, дәл болжамдар беретіні дәлелденді.

Шолу

Регулярлау процедуралары шексіз, әртүрлі және мағынасыз өрнектермен айналысады, реттегіштің көмекші түсінігін енгізу арқылы (мысалы, кеңістіктегі ең аз қашықтық, егер әртүрліліктер қысқа қашықтықтағы физикалық әсерлерден туындаса, онда пайдалы). Дұрыс физикалық нәтиже реттегіш жоғалып бара жатқандағы шекте алынады (біздің мысалымызда, ), бірақ реттегіштің артықшылығы – оның шекті мәні үшін нәтиже шекті болады. Дегенмен, нәтижеде әдетте лимитте жақсы анықталмаған сияқты өрнектерге пропорционалды терминдер кездеседі. Регулярлау – толыққанды шекті және мағыналы нәтиже алудың алғашқы қадамы; кванттық өріс теориясында одан кейін әдетте ренормализация деп аталатын, бірақ тәуелсіз техника қолданылуы керек. Ренормализация кейбір физикалық шамалардың – көрінеу әртүрлі өрнектермен берілген – байқалған мәндерге тең болуы қағидасына негізделген. Мұндай шектеу көптеген басқа шамалардың шекті мәнін есептеуге мүмкіндік береді, олар әртүрлі болып көрінеді. ε-ның нөлге жақындау шегінің болуы және соңғы нәтиженің реттегіштен тәуелсіздігі – бұл тривиальды емес фактілер. Олардың түпкі себебі – Кеннет Уилсон мен Лео Каданов көрсеткендей, жалпыламалық және екінші реттік фазалық өтудің болуында жатыр. Кейде ε-ның нөлге жақындау шегін алу мүмкін емес. Бұл Ландау полюсі болғанда және Ферми өзара әрекеттесуі сияқты қайта нормаланбайтын байланыстар үшін орын алады. Алайда, тіпті осы екі мысал үшін, егер реттегіш тек (мұнда – жоғары энергия шегі) үшін ғана дұрыс нәтижелер берсе және біз өлшемдерімен жұмыс істейтін болсақ, реттегіштері де өте дәл жуықтама береді. ε-ның нөлге жақындау шегін ала алмауымыздың физикалық себебі – Λ-дан төмен жаңа физиканың болуы. Әрқашан ε-ның нөлге жақындау шегі реттеуге тәуелді емес реттеуді анықтау мүмкін емес. Бұл жағдайда теорияда аномалия бар деп айтылады. Аномальды теориялар егжей-тегжейлі зерттелді және көбінесе белгілі Атия-Сингер индексі теоремасына немесе оның вариацияларына негізделген (мысалы, хиральды аномалия қараңыз).

Классикалық физика мысалы

Шексіздік мәселесі алғаш рет 19 ғасыр мен 20 ғасырдың басында нүктелі бөлшектердің классикалық электродинамикасында туындады. Зарядталған бөлшектің массасы оның электростатикалық өрісіндегі масса-энергияны (электромагниттік массаны) қамтиды. Бөлшектің радиусы re болатын зарядталған шар қабық деп есептейік. Өрістегі масса-энергия

теңдігі re → 0 болғанда шексіздікке ұшырайды. Бұл нүктелі бөлшектің шексіз инерцияға ие екенін, демек оны жылдамдату мүмкін емес екенін білдіреді. Сонымен қатар, электрон массасына тең болатын re мәні классикалық электрон радиусы деп аталады, ол (c және факторларын орнату және қалпына келтіру арқылы) келесідей болады:

мұндағы - құрылымдық тұрақты, ал - электронның Комптон толқын ұзындығы. Регуляризация: Классикалық физика теориясы кішкентай масштабтарда бұзылады, мысалы, жоғарыда көрсетілген электрон мен нүктелі бөлшектің арасындағы айырмашылық. Бұл мәселені шешу үшін жаңа физикалық шектеулер қажет. Мысалы, осы жағдайда, шекті электрон радиусын қабылдау (яғни, электрон масса-энергиясын реттеу) белгілі бір өлшемнен төмен жүйені түсіндіру үшін жеткілікті. Ұқсас регуляризация аргументтері басқа қайта қалыптандыру проблемаларында да қолданылады. Мысалы, теория бір тар шарттар жиынтығында тұрақты болуы мүмкін, бірақ шексіздік немесе сингулярлықтарды қамтитын есептеулердің нәтижесінде басқа шарттарда немесе масштабтарда бұзылуы мүмкін. Электрон жағдайында, бөлшектің нүктелік сипатын сақтай отырып, шексіз масса-энергиядан қашудың тағы бір жолы – бөлшектің 3D кеңістіктегі қозғалысын ғана шектеуге емес, оны "жайып салуға" болатын кішкентай қосымша өлшемдерді постулаттау болып табылады. Бұл шындығында, ішектік теория және көп өлшемді модельдердің, соның ішінде көп уақыт өлшемдерінің түпкі себебі болып табылады. Белгісіз жаңа физиканың болуын қабылдаудың орнына, айналадағы бөлшектермен бөлшектердің өзара әрекеттесуінің болуын болжай отырып, қайта қалыптандыру мұндай классикалық проблемаларда шексіздіктерді шешудің баламалы стратегиясын ұсынады.

Тұжырымдамалық мәселе

Кванттық өріс теориясының элементар бөлшектердің кванттық шашырауы туралы бұзылыс арқылы жасалған болжамдары, тиісті Лагранж тығыздығымен анықталады және Фейнман ережелерін, ультракүлгін дивергенцияларын жоғалу үшін регуляризациялау әдісін, сондай-ақ Фейнман диаграммаларындағы циклдарды ескере отырып, шекті нәтижелер алуға мүмкіндік беретін қайта нормалдастыру схемасын қолданады. Регуляризациялау әдісі, n-нүктелік Грин функцияларын (таратушыларды) регуляризациялауға алып келеді, ал тиісті шектеу процедурасы (қайта нормалдастыру схемасы) бұзылыс S-матрица элементтеріне әкеледі. Бұл элементтер қолданылған нақты регуляризациялау әдісіне тәуелсіз және өлшенетін физикалық процестерді (қималар, ықтималдық амплитудалары, ыдырау ендері және қозу күйлерінің өмір сүру мерзімі) бұзылыс арқылы модельдеуге мүмкіндік береді. Дегенмен, қазірге дейін белгілі регуляризацияланған n-нүктелік Грин функцияларының ешқайсысы кванттық шашыраудың физикалық реалистік теориясына негізделген деп есептелмейді, өйткені олардың әрқайсысының туындысы дәстүрлі физиканың негізгі принциптерінің кейбіреуін елемейді (мысалы, Лоренц инварианттығын сақтамау, теріс метрикасы немесе дұрыс емес статистикасы бар физикалық емес бөлшектерді енгізу, дискретті кеңістік-уақыт, кеңістік-уақыттың өлшемділігін төмендету немесе олардың комбинациясы). Сондықтан қолданыстағы регуляризациялау әдістері тікелей физикалық мағынасы жоқ формалистік техникалық құралдар ретінде қарастырылады. Сонымен қатар, қайта нормалдастыруға қатысты да күмәндер бар. Бұл жарты ғасырдан астам уақыттан бері ашық тұжырымдамалық мәселенің тарихы мен түсініктемелері үшін, мысалы, қараңыз.

Паулидің болжамы

Бейретілдірілген Фейнман тізбектерінің төбелері кванттық шашыраудағы өзара әрекеттесулерді жеткілікті түрде сипаттайтын болғандықтан, олардың ультракөк сәуле дивергенциялары Фейнман таратушыларының асимптотикалық, жоғары энергиялы қасиеттеріне байланысты деп есептеледі. Сондықтан Фейнман тізбектеріндегі төбелерді сақтап, Фейнман таратушыларын ғана өзгертіп, реттелген Фейнман тізбесін жасау – сақты, консервативті тәсіл. Бұл формальды Паули-Вилларс ковариантты реттеудің негізі, Фейнман таратушыларын көмекші, физикалық емес бөлшектер арқылы өзгерту арқылы, сондай-ақ физикалық шындықты Фейнман диаграммалары арқылы бейнелеу. 1949 жылы Паули қазіргі физиканың барлық орнықты принциптерін сақтайтын теория арқылы түсіндірілетін шынайы реттеудің бар екенін болжады. Осыған сәйкес, оның таратушыларын (i) реттеудің қажеті жоқ, және (ii) кванттық өріс теорияларында қолданылатын таратушыларды реттеудің бір түрі ретінде қарастыруға болады, бұл жасырын физиканы көрсете алады. Мұндай теорияның қосымша параметрлерін жоюдың қажеті жоқ (яғни теорияны қайта нормалаудың қажеті жоқ) және олар кванттық шашырау физикасы туралы жаңа ақпарат бере алады, бірақ тәжірибеде мардымсыз болуы мүмкін. Керісінше, кез келген қолданыстағы реттеу әдісі формальды коэффициенттерді енгізеді, оларды ақырында қайта нормалау арқылы жою қажет.

Пікірлер

Пол Дирак қайта нормалау процедураларына тұрақты түрде, өте сын көзбен қарады. 1963 жылы ол былай деп жазды: "Қайта нормалау теориясында математиктердің оны дұрыс түсінуге жасаған барлық әрекеттеріне қарсы тұрған теорияға тап болдық. Мен қайта нормалау теориясы болашақта сақталмайтынына күмәнданамын", - деді ол. Теориялық физик үшін екі негізгі тәсілді атап өтуге болады. Бірі – эксперименттік негізде жұмыс істеу, екіншісі – математикалық негізде жұмыс істеу. Адам қазіргі теорияны зерттейді және сынға алады, оның кемшіліктерін анықтап, оларды жоюға тырысады. Мұндағы қиындық – қазіргі теорияның үлкен жетістіктерін жоймай, кемшіліктерін жою болып табылады. Абдус Салам 1972 жылы: "Лоренцтің электрондарды есептеуінде алғаш рет кездескен өріс теориялық шексіздік классикалық электродинамикада жетпіс жыл бойы, ал кванттық электродинамикада отыз бес жыл бойы сақталды. Осы ұзақ жылдар бойындағы көңілсіздік тақырыпта шексіздікке деген ерекше құштарлық пен олардың табиғаттың сөзсіз бөлігі екендігіне деген терең сенімді қалдырды; тіпті олардың айналып өтілуі мүмкін және қайта нормалау тұрақтыларының шекті мәндері есептелуі мүмкін деген үміт те ақылға сыймайтын болып есептелді". Дегенмен, Герард ’т Хоофттың пікірінше, "Тарих бізге егер біз қандай да бір кедергіге тап болсақ, тіпті ол таза формальдылық немесе техникалық қиындық сияқты көрінсе де, оны мұқият зерттеуіміз керек. Табиғат бізге бірдеңе айтып тұрса керек, біз оның не екенін анықтауымыз керек". Нақты реттеудің қиындығы – әзірге ондай реттеуші жоқ, бірақ оның төменнен жоғарыға қарайғы тәсілімен ештеңе жойылмайды; сонымен қатар, оның тәжірибелік негізі де жоқ.

Минималды нақты реттеу

Дирак 1963 жылы ерекше теориялық мәселелерді қарастырып былай деді: "Менің ойымша, осы мәселелерді шешу үшін бөлек идеялар қажет, және физиканың болашақ дамуындағы кезеңдер арқылы олар бірінен соң бірі шешіледі. Осы тұста мен көптеген физиктермен келіспеймін. Олар барлық мәселелерді бірден шешетін бір ғана түйін идея табылатынына сенінеді. Менің ойымша, барлық мәселелерді біреудің бірігіп шеше алатынына үміттену артық. Оларды мүмкіндігінше бөліп, жеке-жеке шешуге тырысу керек. Физиканың болашақ дамуы оларды бірінен соң бірі шешуден тұрады деп санаймын, және олардың кез келгені шешілгеннен кейін, одан әрі қалай қарап тұру керектігі туралы үлкен сауал туады". 1938 жылы Хайзенберг кванттық өріс теориясы кванттық динамиканы тек идеалданған, кең масштабта сипаттауға қабілетті екенін ұсынды, бұл кейбір негізгі ұзындықтан артық қашықтықтар үшін ғана жарамды, және Бьоркэн мен Дрелл 1965 жылы да осыны күтті. Фейнманның бұрынғы ескертуі оның болуының ықтимал физикалық себебін көрсетеді; немесе бұл бір нәрсені айтудың тағы бір тәсілі ғана (қашықтықтың негізгі бірлігі бар), бірақ жаңа ақпарат жоқ.

Жаңа физиканың белгілері

Кванттық гравитацияның кез келген кванттық өріс теориясындағы реттеу мүшелерінің қажеттілігі, стандартты модельден тыс физикаға күшті серпіліс береді. Кванттық өріс теориясындағы гравитациялық емес күштердің шексіздіктерін тек қайта нормалау арқылы бақылауға болады, бірақ гравитация үшін қосымша реттеу, демек жаңа физика міндетті түрде қажет. Реттегіштер кішкентай масштабтарда кванттық өріс теориясының бұзылуын модельдеп, оны айналып өтеді, соның салдарынан осы масштабтарда кванттық өріс теориясынан өзге теорияның қажеттілігін анық көрсетеді. А. Зи (Кванттық өріс теориясы тұқырынан, 2003) мұны реттеу аясының артықшылығы деп есептейді: теориялар өздерінің арналған салаларында жақсы жұмыс істей алады, бірақ сонымен қатар өздерінің шектеулері туралы ақпаратты қамтиды және жаңа физиканың қажеттілігіне нақты сілтеме жасайды.