Введение

Метод, используемый в математической физике

В физике, особенно в квантовой теории поля, регуляризация – это метод модификации физических величин, имеющих сингулярности, для придания им конечности посредством введения подходящего параметра, называемого регулятором. Регулятор, также известный как "отсечка", моделирует наше незнание физики на не наблюдаемых масштабах (например, масштабах малых размеров или высоких энергий). Он учитывает (и предполагает) возможность разделения масштабов, при котором "новая физика" может быть обнаружена на тех масштабах, которые не могут быть смоделированы существующей теорией, позволяя при этом этой теории давать точные предсказания как "эффективной теории" в пределах её предполагаемого диапазона применимости. Регуляризация отличается от перенормировки, другого метода контроля бесконечностей, не предполагающего наличие новой физики, посредством учёта обратной связи самодействия. На протяжении многих десятилетий регуляризация была предметом споров даже среди её создателей, поскольку она объединяет физические и эпистемологические утверждения в одних и тех же уравнениях. Однако в настоящее время она хорошо изучена и доказала свою способность давать полезные и точные предсказания.

Обзор

Процедуры регуляризации имеют дело с бесконечными, расходящимися и бессмысленными выражениями, вводя вспомогательное понятие регулятора (например, минимальное расстояние в пространстве, которое полезно, если расходимости возникают из-за физических эффектов на коротких расстояниях). Правильный физический результат получается в пределе, в котором регулятор исчезает (в нашем примере, ε → 0), но достоинство регулятора заключается в том, что при его конечном значении результат конечен. Однако, результат обычно включает члены, пропорциональные выражениям вроде 1/ε, которые не определены в пределе ε → 0. Регуляризация – это первый шаг к получению полностью конечного и осмысленного результата; в квантовой теории поля она обычно должна сопровождаться связанной, но независимой техникой, называемой перенормировкой. Перенормировка основана на требовании, что некоторые физические величины, выраженные, казалось бы, расходящимися выражениями, такими как ∫d⁴k/k⁴, равны наблюдаемым значениям. Такое ограничение позволяет вычислить конечное значение для многих других величин, которые изначально выглядели расходящимися. Существование предела при ε → 0 и независимость конечного результата от выбора регулятора – нетривиальные факты. Основная причина их существования заключается в универсальности, продемонстрированной Кеннетом Уилсоном и Лео Каданоффом, и в существовании фазового перехода второго рода. Иногда взять предел при ε → 0 невозможно. Это происходит в случае полюса Ландау и для неперенормируемых взаимодействий, таких как фермиевское взаимодействие. Однако, даже для этих двух примеров, если регулятор дает разумные результаты только для энергий ε < Λ (где Λ – верхняя энергетическая граница), а мы работаем со шкалами порядка Λ, регуляторы с ε → 0 все еще дают достаточно точные приближения. Физическая причина, по которой мы не можем взять предел ε → 0, – существование новой физики при энергиях ниже Λ. Не всегда возможно определить регуляризацию так, чтобы предел при ε → 0 был независим от выбора регуляризации. В этом случае говорят, что теория содержит аномалию. Аномальные теории были изучены очень подробно и часто основываются на знаменитой теореме Атия — Сингера об индексе или ее вариациях (см., например, хиральную аномалию).

Пример классической физики

Проблема бесконечностей впервые возникла в классической электродинамике точечных частиц в XIX и начале XX века. Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в её электростатическом поле (электромагнитная масса). Предположим, что частица является заряженной сферической оболочкой радиуса re. Масса-энергия в поле равна

и становится бесконечной при re → 0. Это означает, что точечная частица обладала бы бесконечной инерцией, что делало бы её невозможность ускорения. К слову, значение re, при котором эта величина равна массе электрона, называется классическим радиусом электрона, который (приравнивая и восстанавливая коэффициенты c и ) оказывается равным

где α – постоянная тонкой структуры, а λc – длина волны Комптона электрона. Регуляризация: Классическая физическая теория перестаёт работать на малых масштабах, например, как в случае различия между электроном и точечной частицей, рассмотренном выше. Решение этой проблемы требует введения новых физических ограничений. Например, в данном случае, предположение о конечном радиусе электрона (то есть регуляризация энергии массы электрона) достаточно для описания системы при размерах меньше определённого значения. Аналогичные аргументы регуляризации применимы и к другим задачам перенормировки. Например, теория может быть справедлива в рамках узкого набора условий, но из-за вычислений, включающих бесконечности или сингулярности, она может перестать работать при других условиях или масштабах. В случае электрона, другим способом избежать бесконечной массы-энергии, сохраняя при этом точечную природу частицы, является постулирование существования крошечных дополнительных измерений, по которым частица могла бы "распространяться", а не ограничиваться движением только в трёхмерном пространстве. Именно это является мотивацией для теории струн и других многомерных моделей, включая модели с несколькими временными измерениями. Вместо постулирования существования неизвестной новой физики, ренормализация предлагает альтернативную стратегию для решения проблем с бесконечностями в подобных классических задачах, предполагая взаимодействие частиц с окружающими частицами в среде.

Концептуальная проблема

Предсказания, полученные в рамках квантовой теории поля о квантовом рассеянии элементарных частиц, вытекающие из соответствующей плотности лагранжиана, вычисляются с использованием правил Фейнмана, метода регуляризации для обхода ультрафиолетовых расходимостей с целью получения конечных результатов для диаграмм Фейнмана, содержащих петли, и схемы перенормировки. Метод регуляризации приводит к регуляризованным n-точечным функциям Грина (пропагаторам), а подходящая предельная процедура (схема перенормировки) затем приводит к возмутительным элементам матрицы рассеяния S. Эти элементы не зависят от конкретного используемого метода регуляризации и позволяют моделировать возмутительно измеримые физические процессы (сечения, амплитуды вероятности, ширины распада и времена жизни возбужденных состояний). Однако до сих пор ни одна из известных регуляризованных n-точечных функций Грина не может считаться основанной на физически реалистичной теории квантового рассеяния, поскольку вывод каждой из них игнорирует некоторые из основных принципов классической физики (например, не являясь инвариантной относительно преобразований Лоренца, вводя либо нефизические частицы с отрицательной метрикой или неправильной статистикой, либо дискретное пространство-время, либо уменьшая размерность пространства-времени, либо их комбинацию). Таким образом, доступные методы регуляризации понимаются как формальные технические инструменты, лишенные какого-либо непосредственного физического смысла. Кроме того, существуют вопросы относительно перенормировки. Историю и комментарии к этой более чем полувековой открытой концептуальной проблеме можно найти, например, в.

Предположение Паули

Поскольку представляется, что вершины нерегуляризованных рядов Фейнмана адекватно описывают взаимодействия в квантовом рассеянии, считается, что их ультрафиолетовые расходимости обусловлены асимптотическим поведением при высоких энергиях распространителей Фейнмана. Следовательно, разумным и консервативным подходом является сохранение вершин в рядах Фейнмана и модификация только распространителей Фейнмана для создания регуляризованного ряда Фейнмана. Таково обоснование формальной ковариантной регуляризации Паули — Вилларса, основанной на модификации пропагаторов Фейнмана посредством введения вспомогательных нефизических частиц, см. также представление физической реальности посредством диаграмм Фейнмана. В 1949 году Паули предположил существование реалистичной регуляризации, подразумеваемой теорией, уважающей все установленные принципы современной физики. Таким образом, пропагаторы в этой теории (i) не требуют регуляризации и (ii) могут рассматриваться как регуляризация пропагаторов, используемых в квантовых теориях поля, отражающая фундаментальную физику. Дополнительные параметры такой теории не нуждаются в устранении (то есть теория не требует перенормировки) и могут предоставить новую информацию о физике квантового рассеяния, хотя экспериментально они могут оказаться пренебрежимо малыми. В отличие от этого, любой существующий метод регуляризации вводит формальные коэффициенты, которые в конечном итоге должны быть устранены посредством перенормировки.

Мнения

Пол Дирак был последовательно и крайне критичен к процедурам перенормировки. В 1963 году он писал: «В теории перенормировки у нас есть теория, которая не поддалась всем попыткам математиков придать ей стройность. Я склонен подозревать, что теория перенормировки – это то, что не переживет будущего». Он далее отметил: «Можно выделить два основных подхода для теоретического физика. Один из них – исходить из экспериментальной базы, другой – из математической базы. Один исследует и критикует существующую теорию, пытается выявить ее недостатки и затем устранить их. Сложность здесь заключается в том, чтобы устранить недостатки, не разрушив при этом огромных успехов существующей теории». Абдус Салам заметил в 1972 году: «Теоретические бесконечности поля, впервые возникшие в расчетах Лоренца для электрона, сохранялись в классической электродинамике на протяжении семидесяти лет и в квантовой электродинамике – около тридцати пяти лет. Эти долгие годы разочарования породили в научном сообществе странную привязанность к бесконечностям и страстную веру в то, что они являются неизбежной частью природы; настолько, что даже предположение о возможности их обойти и вычислить конечные значения констант перенормировки считается нерациональным». Однако, по мнению Жерара т’Хоофта, «история учит нас, что если мы сталкиваемся с каким-либо препятствием, даже если оно кажется чистой формальностью или просто техническим усложнением, его следует тщательно изучить. Возможно, природа пытается нам что-то сказать, и мы должны выяснить, что именно». Трудность с реалистичной регуляризацией заключается в том, что пока ее не существует, хотя подход снизу вверх не может нанести вреда; и для нее нет экспериментальной основы.

Минимальная реалистичная регуляризация

Рассматривая различные теоретические проблемы, Дирак в 1963 году предположил: "Я полагаю, что для решения этих отдельных проблем потребуются различные подходы, и что они будут решаться последовательно, один за другим, на последующих этапах развития физики. В этом я расхожусь с большинством физиков. Они склонны считать, что будет открыта одна основополагающая идея, способная решить все эти проблемы одновременно. Я думаю, что надеяться на это слишком много. Следует максимально разделять эти проблемы и решать их по отдельности. И я верю, что будущее развитие физики будет заключаться в последовательном решении этих проблем, и что даже после решения одной из них останется большая загадка относительно того, как подступиться к следующим". Еще в 1938 году Гейзенберг предположил, что квантовая теория поля может дать лишь идеализированное, макроскопическое описание квантовой динамики, справедливое для расстояний, превышающих некоторую фундаментальную длину, что также ожидали Бьёркен и Дрелл в 1965 году. Предыдущее замечание Фейнмана предлагает возможное физическое объяснение этого; либо это, либо это просто другой способ выразить ту же мысль (существует фундаментальная единица длины), но без какой-либо новой информации.

Намеки на новую физику

Необходимость в регуляризационных членах в любой квантовой теории поля квантовой гравитации является ключевой мотивацией для поиска физики за пределами Стандартной модели. Бесконечности, возникающие в квантовой теории поля для негравитационных взаимодействий, можно контролировать только посредством перенормировки, однако для гравитации требуется уникальная дополнительная регуляризация и, следовательно, новая физика. Регуляторы моделируют и обходят проблему разрушения применимости квантовой теории поля в малых масштабах, тем самым наглядно демонстрируя необходимость в иной теории, которая должна вступать в действие за пределами квантовой теории поля в этих масштабах. А. Зи (Квантовая теория поля вкратце, 2003) рассматривает это как достоинство подхода регуляризации: теории могут успешно работать в своих областях применимости, но при этом содержат информацию о собственных ограничениях и чётко указывают на области, где требуется новая физика.