Кіріспе

Бөлшектер физикасы моделінің математикасы, математикалық емес сипаттама және шолу

Бұл мақалада бөлшектер физикасының Стандартты моделінің математикасы сипатталады, ол біртұтас өнім тобының ішкі симметрияларын қамтитын өлшеуіштік кванттық өріс теориясы болып табылады. Теория көбінесе лептондар, кварктар, өлшеуіш бозондар және Хиггс бозоны – бөлшектердің негізгі жиынтығын сипаттайды. Стандартты модель қайта нормаланады және математикалық тұрғыдан өзіне сәйкес келеді, бірақ эксперименттік болжамдар жасауда үлкен және үнемі табыстарға қол жеткізгеніне қарамастан, түсіндірілмейтін кейбір құбылыстарды қалдырады. Атап айтқанда, арнайы салыстырмалылық теориясының физикасы енгізілгенімен, жалпы салыстырмалылық теориясы енгізілмеген, және Стандартты модель гравитонның пайда болуы күтілетін энергиялар мен қашықтықтарда жұмыс істемейді. Сондықтан, қазіргі заманғы өріс теориясы тұрғысынан, ол тиімді өріс теориясы ретінде қарастырылады.

Тараптардың басқаша көрсетілуі

Кванттық теориядағыдай, нәрселерге қараудың бірнеше тәсілі бар. Алғашқыда жоғарыда келтірілген негізгі өрістер, жоғарыдағы кестедегі "негізгі бөлшектерге" толық сәйкес келмейтіндей болып көрінеді, бірақ нақты жағдайларда олардан тиімдірек болатын бірнеше баламалы ұсыныстар бар.

Фермиондар

Бір фермиондық өріс ψ болғанның орнына, оны әр бөлшектің түрі үшін жеке компоненттерге бөлуге болады. Бұл кванттық өріс теориясының тарихи дамуын көрсетеді, себебі электрон компоненті ψe (электронды және оның антибөлшегі позитронды сипаттайды) кванттық электродинамиканың бастапқы ψ өрісі болып табылады, кейіннен оған мюон және тауон үшін ψμ және ψτ өрістері қосылды (олардың антибөлшектерімен бірге). Электрәлсіз теория сәйкес нейтринолар үшін және қосты. Кварктар одан әрі компоненттерді қосады. Электрон және басқа лептон компоненттері сияқты төрт спинор болуы үшін, әр дәм мен түс комбинациясы үшін бір кварк компоненті болуы керек, осылайша барлығы 24 (3 зарядталған лептон үшін, 3 нейтрино үшін және 2·3·3 = 18 кварк үшін) болады. Олардың әрқайсысы төрт компонентті биспинор болып табылады, яғни фермиондық өрісте 96 кешенді компонент бар. Маңызды анықтама – бұл , деп анықталатын сызықталған фермиондық өріс, мұнда ψ-дің Эрмиттік түйіндесі көрсетіледі, ал γ^(0) – нөлдік гамма матрицасы. Егер ψ n × 1 матрица ретінде қарастырылса, онда ψ̄ 1 × n матрица ретінде қарастырылуы керек.

Масса және өзара әрекеттесудің өзіндік күйлері

Осылайша, мысалы, нейтриноның массалық және өзара әрекеттесуге қатысатын меншікті күйлері арасында айырма жасауға болады. Біріншісі – бос кеңістікте таралатын күй, ал екіншісі – өзара әрекеттесуге қатысатын өзгеше күй. "Негізгі" бөлшеқ қайсысы? Нейтрино үшін "дәмі" (, , немесе ) өзара әрекеттесуге қатысатын меншікті күйімен анықталады, ал кварктар үшін дәм (жоғары, төмен және т.б.) массалық күйімен анықталады. Кварктар үшін CKM матрицасын немесе нейтринолар үшін PMNS матрицасын пайдаланып, осы күйлердің арасында ауысуға болады (ал зарядталған лептондар масса мен дәмнің екеуінің де меншікті күйлері болып табылады). Қызықтау ретінде, егер осы матрицалардың біреуінде кешенді фазалық мүше болса, ол тікелей CP симметриясын бұзуға алып келеді, бұл қазіргі ғаламымызда материяның антиматериядан басымдығын түсіндіруге мүмкіндік береді. Бұл CKM матрицасы үшін дәлелденді, ал PMNS матрицасы үшін күтілуде.

Оң және теріс энергия

Соңында, кванттық өрістер кейде «оң» және «теріс» энергиялық бөліктерге жіктеледі: Бұл кванттық өріс теориясы құрылған кезде жиі кездеспесе де, өріс теориясын кванттау процесінде маңызды рөл атқарады.

ҚТТ-ның бұзылуы және өзара әсерлесу көрінісі

Стандартты модельдің «бөлшектер» және «күштер» тұрғысынан сапалық сипаттамаларының көп бөлігі модельдің бұрыстырулы кванттық өріс теориясының көзқарасынан туындайды. Бұл жағдайда Лагранждық жеке еркін өріс және өзара әрекеттесу Лагранждықтарына бөлінеді. Еркін өрістер бөлшектерді оқшаулап қарастырады, ал бірнеше бөлшектерді қамтитын процестер өзара әрекеттесу арқылы пайда болады. Идея мынада: күй векторы тек бөлшектер өзара әрекеттескенде ғана өзгеруі керек, яғни еркін бөлшек – кванттық күйі тұрақты болатын бөлшек. Бұл квант механикасындағы өзара әрекеттесу суретіне сәйкес келеді. Шредингердің кең таралған суретінде тіпті еркін бөлшектердің күйлері де уақыт өте келе өзгереді: әдетте фаза олардың энергиясына байланысты өзгереді. Альтернативті Хайзенберг суретінде күй векторлары операторлардың (әсіресе байқалатын шамалардың) уақытқа тәуелді болу бағасымен тұрақты сақталады. Өзара әрекеттесу суреті екеуінің арасындағы орталық болып табылады, онда уақыт тәуелділігінің бір бөлігі операторларға (кванттық өрістерге), ал екінші бөлігі күй векторына орналастырылады. Кванттық өріс теориясында біріншісі модельдің еркін өрістік бөлігі деп аталады, ал екіншісі – өзара әрекеттесу бөлігі. Еркін өріс моделінің нақты шешімі бар, содан кейін толық модельдің шешімдері еркін өріс шешімдерінің бұзылуы ретінде, мысалы, Дайсон қатарын пайдалану арқылы көрсетілуі мүмкін. Еркін өрістерге және өзара әрекеттесуге бөлшектеу принципі бойынша ерікті екенін атап өту керек. Мысалы, квант электродинамикасындағы қайта нормалау еркін өрістегі электронның массасын физикалық электронға (электромагниттік өрісте) сәйкес келтіреді және осылайша еркін өрістегі Лагранждыққа бір термин қосады, оны өзара әрекеттесу Лагранждығындағы қарсы терминмен жою қажет, ол Фейнман диаграммаларында екі сызықты төбе ретінде көрінеді. Хиггс өрісі бөлшектерге массаны қалай береді деп есептейміз: Хиггс өрісінің нөлден өзгеше вакуумдық күту мәніне сәйкес келетін өзара әрекеттесу термині өзара әрекеттесуден еркін өріс Лагранждығына көшіріледі, онда ол Хиггс өрісімен ешқандай байланысы жоқ массалық термин сияқты көрінеді.

Қарым-қатынас шарттары мен жол интегралы әдісі

Лагранждықты құру және жою операторларын ("каноникалық" формализм) пайдаланбай, жол интегралы формуласын қолдану арқылы да алуға болады, бұл әдісті Фейнман Дирактың бұрынғы жұмыстарын негізге ала отырып қадағалады. Фейнман диаграммалары – өзара әрекеттесу мүшелерінің графикалық бейнелеуі. Шағын туынды Фейнман диаграммалары туралы мақалада келтірілген.

Лагранж формализмі

Біз енді Стандартты модельдегі Лагранж тығыздығында кездесетін жоғарыда айтылған еркін және өзара әрекеттесу мүшелері туралы толығырақ мәлімет бере аламыз. Кез келген мүше өлшегіштік және координаттық жүйеге қатысты инвариантты болуы керек, әйтпесе физика заңдары кездейсоқ таңдауға немесе бақылаушының координаттық жүйесіне тәуелді болар еді. Сондықтан, арнайы салыстырмалылық теориясының негізгі құралы болып табылатын жаһандық Пуанкаре симметриясы, яғни трансляциялық симметрия, бұрылу симметриясы және инерциялық координаттық жүйенің инварианттығы қолданылуы тиіс. Жергілікті SU(3) × SU(2) × U(1) өлшегіштік симметриясы – ішкі симметрия болып табылады. Бұл өлшегіштік симметрияның үш факторы, біз көретіндей, тиісті қатынастар белгіленгеннен кейін үш негізгі өзара әрекеттесуді тудырады.

Кинетикалық терминдер

Еркін бөлшекті массалық мүшемен және өрістердің "қозғалысын" сипаттайтын кинетикалық мүшемен бейнелеуге болады.

Қосылу шарттары

Келесі қадам – фермиондарға өлшеу өрістерін "байлау", бұл өзара әрекеттесуге жағдай жасайды.

Кванттық хромодинамика секторы

Кванттық хромодинамика (QCD) секторы кварктар мен глюондар арасындағы өзара әрекеттесуді анықтайды, бұл SU(3) симметриясымен сипатталады және Ta генераторлары арқылы туындайды. Лептондар глюондармен өзара әрекеттеспейтіндіктен, бұл сектор оларға әсер етпейді. Глюондық өрістермен байланысты кварктардың Дирак лагранжианы былай беріледі:

мұнда U және D – жоғары және төмен типті кварктарға сәйкес келетін Дирак спиноры, ал қалған белгілеулер алдыңғы бөлімнен алынған.

Массалық терминдер

Дирак лагранжианынан туындайтын массалық термин (әрбір фермион ψ үшін) электроәлсіз симметрияға қатысты өзгермейді. Бұл ψ-ті сол және оң қолды компоненттер арқылы жазу арқылы көрінеді (нақты есептеуді жіберсек): яғни, және мүшелері пайда болмайды. Масса тудыратын өзара әрекеттесу бөлшектердің хиральдығының тұрақты түрде ауысуы арқылы жүзеге асатынын көреміз. Жарты спинді бөлшектерде бірдей SU(2) өкілдігіне ие және тең және қарама-қарсы әлсіз гиперзарядтары бар оң/сол хиральды жұп жоқ. Сондықтан, егер бұл габариттік зарядтар вакуумда сақталса, жарты спинді бөлшектердің ешқайсысы хиральдықты өзгерте алмайды және массасыз болып қалуы керек. Сонымен қатар, тәжірибе жүзінде W және Z бозондарының массасы бар екенін білеміз, бірақ бозон массасының мүшесі мысалы, AμAμ комбинациясын қамтиды, бұл таңдалған калибровкаға байланысты. Демек, Стандартты модельдегі фермиондар мен бозондардың ешқайсысы массамен "туылмайды", бірақ оны басқа механизм арқылы иеленуі керек.

Нейтриноның массасы

Жоғарыда айтылғандай, дәлелдер нейтриноның массасы болуы керектігін көрсетеді. Бірақ стандартты модельде оң қолды нейтрино жоқ, сондықтан Юкава байланысымен де нейтринолар массасыз қалады. Осы мәселені шешудің қарапайым жолы – оң қолды νR нейтриносын қосу, бұл Юкава секторында Дирак массасының жаңа терминін енгізуді талап етеді:

Дегенмен, бұл өріс стерильді нейтрино болуы керек, себебі оң қолды болғандықтан, ол эксперименттік тұрғыдан изоспин синглетіне жатады және сонымен қатар зарядталған, яғни тіпті әлсіз өзара әрекеттесуге де қатыспайды. Стерильді нейтринолардың эксперименталдық дәлелдері қазіргі уақытта нақты емес. Тағы бір қарастыруға болатын мүмкіндік – нейтрино Майорана теңдеуін қанағаттандыруы мүмкін, бұл оның электр зарядының нөлдік болуына байланысты мүмкін көрінеді. Бұл жағдайда Юкава секторына жаңа Майорана массалық термині қосылады:

мұнда C зарядты конъюгацияланған (яғни анти) бөлшекті білдіреді, ал терминдер тұрақты түрде сол жақты (немесе барлық оң жақты) хиральдылыққа ие (антибөлшектің сол жақты хиральдылық проекциясы оң жақты өріс екенін ескеріңіз; кейде қолданылатын әртүрлі нотацияларға байланысты мұнда сақтық тану қажет). Бұл жерде біз негізінен сол жақты нейтринолар мен оң жақты антинейтринолар арасында ауысып отырмыз (сонымен қатар нейтринолар өздерінің антибөлшектері болуы мүмкін, бірақ бұл міндетті емес, сондықтан бұл бөлшектер бірдей). Дегенмен, сол жақты хиральды нейтринолар үшін бұл термин әлсіз гипержүктілікті 2 бірлікке өзгертеді – бұл стандартты Хиггс өзара әрекеттесуімен мүмкін емес, сондықтан Хиггс өрісін әлсіз гипержүктілігі = 2 болатын қосымша триплетті қосу арқылы кеңейту қажет (күлеңкелі механизмді қараңыз). Қандай жағдайда болса да, эксперименттік нәтижелерді түсіндіру үшін жаңа өрістерді постулаттау қажет болғандықтан, нейтринолар Стандартты модельден тыс физиканы іздеуге арналған айқын қақпа болып табылады.

Толық ақпарат

Бұл бөлімде кейбір мәселелерге қатысты толыққанды мәліметтер мен анықтамалық материалдар келтірілген. Анық Лагранж терминдері де осы жерде ұсынылған.