Введение

Математика модели физики частиц: менее математическое описание и обзор.

В этой статье описывается математика Стандартной модели физики частиц – калибровочной квантовой теории поля, содержащей внутренние симметрии унитарной группы произведений [[специальной унитарной группы]]. Теория обычно рассматривается как описание фундаментального набора частиц – лептонов, кварков, калибровочных бозонов и бозона Хиггса. Стандартная модель является перенормируемой и математически самосогласованной, однако, несмотря на огромные и продолжающиеся успехи в предсказании результатов экспериментов, она не объясняет некоторые явления. В частности, хотя в ней учтена физика специальной теории относительности, общая теория относительности не включена, и Стандартная модель перестанет работать при энергиях или расстояниях, где ожидается появление гравитона. Поэтому в современном контексте теории поля она рассматривается как эффективная теория поля.

Альтернативные формы представления полей

Как это обычно бывает в квантовой теории, на вещи можно смотреть по-разному. Первоначально основные поля, перечисленные выше, могут показаться не совсем соответствующими "фундаментальным частицам" на приведенной выше схеме, однако существует несколько альтернативных способов представления, которые в определенных контекстах могут оказаться более уместными, чем те, что представлены выше.

Фермионы

Вместо того, чтобы иметь одно фермионное поле ψ, его можно разложить на отдельные компоненты для каждого типа частиц. Это отражает историческое развитие квантовой теории поля, поскольку электронная компонента ψe (описывающая электрон и его античастицу позитрон) является исходным полем квантовой электродинамики, к которому позже добавились поля ψμ и ψτ для мюона и тауона соответственно (и их античастиц). Электрослабая теория добавила поля νe и νμ для соответствующих нейтрино. Кварки добавляют еще больше компонентов. Чтобы обеспечить наличие четырех спинорных компонентов, как у электрона и других лептонов, необходимо по одному кварковому компоненту для каждой комбинации вкуса и цвета, что в сумме дает 24 (3 для заряженных лептонов, 3 для нейтрино и 2·3·3 = 18 для кварков). Каждый из них является четырехкомпонентным биспинором, что в общей сложности составляет 96 комплекснозначных компонентов для фермионного поля. Важным определением является сопряженное фермионное поле ψ̄, которое определяется как ψ̄ = ψ†γ^(0), где ψ† обозначает эрмитово сопряжение ψ, а γ^(0) – нулевая гамма-матрица. Если ψ рассматривается как матрица n × 1, то ψ̄ следует рассматривать как матрицу 1 × n.

Собственные состояния массы и взаимодействия

Таким образом, можно провести различие, например, между состояниями с определенной массой и состояниями взаимодействия нейтрино. Первое – это состояние, которое распространяется в свободном пространстве, а второе – отличное состояние, участвующее во взаимодействиях. Какое из них является "фундаментальной" частицей? Для нейтрино принято определять "аромат" (, , или ) по состоянию взаимодействия, в то время как для кварков мы определяем аромат (верхний, нижний и т.д.) по состоянию с определенной массой. Мы можем переходить между этими состояниями, используя матрицу CKM для кварков или матрицу PMNS для нейтрино (заряженные лептоны, в свою очередь, являются собственными состояниями как массы, так и аромата). Как отступление, если в какой-либо из этих матриц присутствует комплексный фазовый член, это приведет к прямому нарушению CP-инвариантности, что может объяснить преобладание материи над антиматерией в нашей Вселенной. Это было доказано для матрицы CKM и ожидается для матрицы PMNS.

Положительная и отрицательная энергия

Наконец, квантовые поля иногда раскладывают на части, соответствующие "положительной" и "отрицательной" энергии. Это не всегда делается при построении квантовой теории поля, но часто играет важную роль в процессе её квантования.

Взрывоопасное QFT и картина взаимодействия

Большая часть качественных описаний Стандартной модели в терминах "частиц" и "сил" происходит из возмутительной квантовой теории поля. В этом подходе лагранжиан раскладывается на отдельные лагранжианы свободного поля и взаимодействия. Свободные поля описывают частицы в изоляции, в то время как процессы, включающие несколько частиц, возникают в результате взаимодействия. Идея состоит в том, что вектор состояния должен изменяться только при взаимодействии частиц, то есть свободная частица – это частица, чье квантовое состояние постоянно. Это соответствует картине взаимодействия в квантовой механике. В более распространенной картине Шрёдингера даже состояния свободных частиц изменяются со временем: как правило, фаза меняется со скоростью, зависящей от их энергии. В альтернативной картине Гейзенберга векторы состояния остаются постоянными, но операторы (в частности, наблюдаемые) становятся зависящими от времени. Картина взаимодействия представляет собой промежуточный вариант, в котором некоторая зависимость от времени переносится на операторы (квантовые поля), а некоторая – на вектор состояния. В квантовой теории поля первое называется частью модели свободного поля, а второе – частью взаимодействия. Модель свободного поля может быть решена точно, а решения полной модели могут быть выражены как возмущения решений модели свободного поля, например, с использованием ряда Дайсона. Следует отметить, что разложение на свободные поля и взаимодействия в принципе является произвольным. Например, ренормализация в квантовой электродинамике изменяет массу свободного электрона, чтобы она соответствовала массе физического электрона (в электромагнитном поле), и при этом добавляет член к лагранжиану свободного поля, который должен быть компенсирован контртермом в лагранжиане взаимодействия, что проявляется как двухлинейная вершина на диаграммах Фейнмана. Аналогичным образом считается, что поле Хиггса придает частицам массу: часть члена взаимодействия, соответствующая ненулевому вакуумному среднему значению поля Хиггса, перемещается из взаимодействия в лагранжиан свободного поля, где он выглядит как член массы, не имеющий отношения к полю Хиггса.

Термины взаимодействия и интегральный подход к пути

Лагранжиан также может быть выведен без использования операторов рождения и уничтожения (так называемый "канонический" формализм) с помощью интегрального представления по траекториям, впервые разработанного Фейнманом на основе более ранних работ Дирака. Диаграммы Фейнмана — это наглядные изображения членов взаимодействия. Краткое выведение действительно представлено в статье, посвященной диаграммам Фейнмана.

Лагранжский формализм

Теперь мы можем привести более подробную информацию о вышеупомянутых свободных и взаимодействующих членах, возникающих в плотности лагранжиана Стандартной модели. Любой такой член должен быть инвариантным относительно преобразований калибровки и системы отсчета, иначе законы физики зависели бы от произвольного выбора или системы отсчета наблюдателя. Следовательно, должна выполняться глобальная симметрия Пуанкаре, состоящая из симметрии трансляций, симметрии вращений и инвариантности относительно инерциальных систем отсчета, которая является основополагающей для теории специальной относительности. Локальная калибровочная симметрия SU(3) × SU(2) × U(1) является внутренней симметрией. Три фактора калибровочной симметрии в совокупности порождают три фундаментальных взаимодействия, после установления определенных соотношений, как мы увидим далее.

Кинетические термины

Свободную частицу можно представить членом, описывающим массу, и кинетическим членом, который связан с "движением" полей.

Условия соединения

Следующий шаг — включить взаимодействие между калибровочными полями и фермионами, что позволит им взаимодействовать.

Сектор квантовой хромодинамики

Сектор квантовой хромодинамики (QCD) определяет взаимодействия между кварками и глюонами, обладая SU(3) симметрией, генерируемой Ta. Поскольку лептоны не взаимодействуют с глюонами, они не затронуты этим сектором. Лагранжиан Дирака кварков, взаимодействующий с полями глюонов, имеет вид

где U и D – спиноры Дирака, соответствующие кваркам верхнего и нижнего типов, а остальные обозначения используются в соответствии с предыдущим разделом.

Массовые термины

Термин массы, возникающий из лагранжиана Дирака (для любого фермиона ψ), не является инвариантным относительно электрослабой симметрии. Это можно увидеть, разложив ψ на левые и правые компоненты (опуская сам расчет): то есть, вклады от членов и не возникают. Мы видим, что взаимодействие, порождающее массу, достигается постоянным изменением хиральности частиц. Частицы со спином 1/2 не имеют правой/левой пары хиральности с одинаковыми представлениями SU(2) и равными по величине, но противоположными по знаку слабыми гиперзарядами. Следовательно, если предположить, что эти калибровочные заряды сохраняются в вакууме, ни одна из частиц со спином 1/2 не может изменить свою хиральность и должна оставаться безмассовой. Кроме того, экспериментально известно, что W и Z бозоны имеют массу, но член массы бозона содержит комбинацию, например, AμAμ, которая явно зависит от выбора калибровки. Поэтому ни один из фермионов или бозонов Стандартной модели не может изначально обладать массой, а должен приобретать её посредством другого механизма.

Масса нейтрино

Как уже упоминалось ранее, свидетельства указывают на то, что нейтрино должны обладать массой. Однако в рамках стандартной модели правостороннего нейтрино не существует, поэтому даже при наличии связи Юкавы нейтрино остаются безмассовыми. Очевидным решением является простое добавление правостороннего нейтрино νR, что требует добавления нового члена массы Дирака в секторе Юкавы:

Однако это поле должно быть стерильным нейтрино, поскольку будучи правосторонним, оно экспериментально относится к изоспинному синглету и также имеет нулевой заряд, что подразумевает (см. выше), то есть оно даже не участвует в слабом взаимодействии. Экспериментальные данные о стерильных нейтрино в настоящее время не являются окончательными. Другая возможность, которую следует рассмотреть, заключается в том, что нейтрино удовлетворяет уравнению Майораны, что на первый взгляд кажется возможным из-за его нулевого электрического заряда. В этом случае в сектор Юкавы добавляется новый член массы Майораны:

где C обозначает зарядово-сопряжённую (т.е. анти)частицу, а члены последовательно имеют либо всю левую, либо всю правую хиральность (следует отметить, что левая проекция хиральности античастицы является правосторонним полем; здесь необходимо соблюдать осторожность из-за различной нотации, используемой иногда). Здесь мы, по сути, переходим между левосторонними нейтрино и правосторонними антинейтрино (более того, возможно, но не обязательно, что нейтрино являются собственными античастицами, то есть эти частицы идентичны). Однако для нейтрино с левой хиральностью этот член изменяет слабый гиперзаряд на 2 единицы – что невозможно при стандартном взаимодействии Хиггса, требуя расширения поля Хиггса для включения дополнительного триплета со слабым гиперзарядом = 2 (см. механизм качели). Поскольку в любом случае для объяснения экспериментальных результатов необходимо постулировать новые поля, нейтрино являются очевидным путем к поиску физики за пределами Стандартной модели.

Подробная информация

В этом разделе приводится более подробная информация по некоторым аспектам и дополнительные справочные материалы. Здесь также представлены явные лагранжевы члены.