Гамильтондық жүйелер үшін сандық интеграция схемасы

Кіріспе

Гамильтондық жүйелер үшін сандық интеграция схемасы. Математикада, симплектік интегратор (SI) – гамильтондық жүйелерді сандық интеграциялау схемасы. Симплектік интеграторлар – геометриялық интеграторлардың кіші тобын құрайды, олар анықтама бойынша каноникалық түрлендірулер болып табылады. Олар бейсызық динамика, молекулалық динамика, дискретті элементтер әдістері, үдеткіштер физикасы, плазма физикасы, кванттық физика және аспан механикасында кеңінен қолданылады.

Кіріспе

Симплектілік интеграторлар Гамильтон теңдеулерінің сандық шешімі үшін жасалған, олар былай жазылады:

мұнда – координаталар, – импульс координаталары, ал – Гамильтонианды білдіреді. Координаталар және импульс координаталарының жиынтығы каноникалық координаталар деп аталады. (Толық ақпарат алу үшін Гамильтон механикасына қараңыз.) Гамильтон теңдеулерінің уақыт бойынша өзгеруі симплектоморфизм болып табылады, яғни ол симплектікалық 2-форманы сақтайды. Сандық схема, егер ол осы 2-форманы сақтаса, симплектілік интегратор болып есептеледі. Симплектілік интеграторлар сондай-ақ сақталатын шама ретінде бастапқы Гамильтонианнан сәл өзгеше Гамильтонианға ие болуы мүмкін (бұл тек қарапайым жағдайлардың шектеулі класы үшін ғана дұрыс). Осы артықшылықтарының арқасында СИ схемасы Кеплер мәселесінен бастап молекулалық динамикадағы классикалық және жартылай классикалық модельдеулерге дейінгі хаотикалық Гамильтон жүйелерінің ұзақ мерзімді эволюциясын есептеуде кеңінен қолданылады. Бастапқы Эйлер схемасы және классикалық Рунге-Кутта схемасы сияқты көптеген стандартты сандық әдістер симплектілік интеграторлар болып табылмайды.

Төртінші дәрежелі мысал

Төртінші реттік интеграторды (с) Рут 1983 жылы тауып, сол кезде бөлшектер үдеткіші қауымдастығына жеке таратты. Бұл туралы Форст жазған қызықты мақалада сипатталған. Бұл төртінші реттік интеграторды 1990 жылы Форст пен Рут жариялады, сонымен бірге сол шамада тағы екі топ тәуелсіз түрде тапты. Бұл коэффициенттерді анықтау үшін Бейкер-Кэмпбелл-Хаусдорф формуласын қолдануға болады. Yoshida, әсіресе, жоғары реттік интеграторлар үшін коэффициенттердің әдемі шығарылымын ұсынады. Кейін Бланс және Моан өте кішкентай қателік тұрақтылары бар, ажыратылатын Гамильтондықтары бар жүйелерді интеграциялау үшін бөлінген Рунге-Кутта әдістерін одан әрі дамытты.

Жалпы ажырамайтын гамильтондар үшін бөлу әдістері

Жалпы ажырамайтын Гамильтондарды да ашық түрде және симплектік интегралдауға болады. Мұны істеу үшін Тао фазалық кеңістіктің екі көшірмесін байланыстыратын және мұндай жүйелерді нақты бөлуге мүмкіндік беретін шектеуді енгізді. Идеясы мынада, емес, оның орнына , шешімі нмен сәйкес келетін жүйені симуляциялау керек, яғни . Жаңа Гамильтондық ашық симплектік интегралдау үшін тиімді, себебі оны үш ішкі Гамильтондықтардың қосындысына бөлуге болады: , және . Осы үш ішкі Гамильтондықтардың барлығына нақты шешімдерді ашық түрде алуға болады: екі шешімі де қарама-қарсы позиция мен импульстің ығысуына сәйкес келеді, ал шешімі – сызықтық түрлендіруге. Жүйені симплектік түрде симуляциялау үшін осы шешім карталарын біріктіру жеткілікті.

Плазма физикасында

Соңғы онжылдықтарда плазма физикасындағы симплектикалық интеграторлар белсенді зерттеу тақырыбына айналды, себебі стандартты симплектикалық әдістердің тікелей қолданылуы петадан экза масштабқа дейінгі есептеу құрылғыларының мүмкіндіктерін пайдаланатын ірі масштабты плазмалық симуляциялардың қажеттіліктеріне сай келмейді. Физикалық проблеманың ерекше құрылымдарын пайдалана отырып, арнайы симплектикалық алгоритмдерді әдетте жобау қажет. Мұндай мысалдың бірі – электромагниттік өрістегі зарядталған бөлшектердің динамикасы. Каноникалық симплектикалық құрылымда динамиканың Гамильтонианы – тәуелділігі мен тәуелділігі ажыратылмайтын, сондықтан стандартты эксплицитті симплектикалық әдістер қолданылмайды. Дегенмен, үлкен масштабтағы параллель кластерлердегі симуляциялар үшін эксплицитті әдістер артықшылыққа ие. Бұл қиындықты жеңу үшін, осы Гамильтондағы тәуелділік пен тәуелділіктің қалай байланысқандығын зерттеп, осы немесе осы типтегі проблема үшін симплектикалық алгоритм жасауға тырысамыз. Біріншіден, тәуелділік квадраттық екенін ескерейік, сондықтан бірінші реттік симплектикалық Эйлер әдісі жасырын түрде эксплицитті болады. Бұл каноникалық симплектикалық бөлшектің (PIC) алгоритмінде қолданылады. Жоғары реттік эксплицитті әдістерді құру үшін, тәуелділік пен тәуелділік осы Гамильтонда көбейтіліп ажыратылатынын, 2-ші және 3-ші реттік эксплицитті симплектикалық алгоритмдерді генерациялау функцияларын қолдана отырып құрастыруға болатынын, ал уақытқа тәуелді электромагниттік өрістер үшін кез келген жоғары реттік эксплицитті симплектикалық интеграторларды Рунге-Кутта әдістерін қолдана отырып құрастыруға болатынын атап өтейік. Көбірек талғамға лайықты және әмбебап нұсқа – проблеманың каноникалық емес симплектикалық құрылымын қарастыру. Тұрақты емес каноникалық емес симплектикалық құрылым үшін жалпы симплектикалық интегратор, эксплицитті немесе жасырын, бар екені белгілі емес. Алайда, осы нақты проблема үшін He бөлу әдісін қолдана отырып, жоғары реттік эксплицитті каноникалық емес симплектикалық интеграторлардың отбасын құрастыруға болады. 4 бөлікке бөлгенде, мысалы, және әрбір ішкі жүйе үшін шешім картасын нақты жазып, дәл есептеуге болады. Содан кейін әртүрлі композицияларды пайдалана отырып, жоғары реттік каноникалық емес симплектикалық алгоритмдерді құрастыруға болады. 4 ішкі жүйелік бөліктердің нақты шешім карталарын белгілейік. 1-ші реттік симплектикалық схема – келесідей: , ал симметриялық 2-ші реттік симплектикалық схема – бұл әдеттегі модификацияланған Стрэнг бөлінуі. Үштік секіру әдісін пайдалана отырып, -ші реттік схемадан -ші реттік схеманы құрастыруға болады. He бөлу әдісі – геометриялық қасиеттерін сақтайтын бөлшектік жасушадағы (PIC) алгоритмдерде қолданылатын негізгі әдістердің бірі.

In recent decades symplectic integrator in plasma physics has become an active research topic, because straightforward applications of the standard symplectic methods do not suit the need of large scale plasma simulations enabled by the peta to exa scale computing hardware. Special symplectic algorithms need to be customarily designed, tapping into the special structures of physics problem under investigation. One such example is the charged particle dynamics in an electromagnetic field. With the canonical symplectic structure, the Hamiltonian of the dynamics is whose dependence and dependence are not separable, and standard explicit symplectic methods do not apply. For large scale simulations on massively parallel clusters, however, explicit methods are preferred. To overcome this difficulty, we can explore the specific way that the dependence and dependence are entangled in this Hamiltonian, and try to design a symplectic algorithm just for this or this type of problem. First, we note that the dependence is quadratic, therefore the first order symplectic Euler method implicit in is actually explicit. This is what is used in the canonical symplectic particle in cell (PIC) algorithm. To build high order explicit methods, we further note that the dependence and dependence in this are product separable, 2nd and 3rd order explicit symplectic algorithms can be constructed using generating functions, and arbitrarily high order explicit symplectic integrators for time dependent electromagnetic fields can also be constructed using Runge Kutta techniques. A more elegant and versatile alternative is to look at the following non canonical symplectic structure of the problem, Here is a non constant non canonical symplectic form. General symplectic integrator for non constant non canonical symplectic structure, explicit or implicit, is not known to exist. However, for this specific problem, a family of high order explicit non canonical symplectic integrators can be constructed using the He splitting method. Splitting into 4 parts, we find serendipitously that for each subsystem, e. g., and the solution map can be written down explicitly and calculated exactly. Then explicit high order non canonical symplectic algorithms can be constructed using different compositions. Let and denote the exact solution maps for the 4 subsystems. A 1st order symplectic scheme is A symmetric 2nd order symplectic scheme is, which is a customarily modified Strang splitting. A th order scheme can be constructed from a th order scheme using the method of triple jump, The He splitting method is one of key techniques used in the structure preserving geometric particle in cell (PIC) algorithms.