Введение

Числовая схема интегрирования для гамильтоновых систем. В математике симплектический интегратор (SI) — это числовая схема интегрирования для гамильтоновых систем. Симплектические интеграторы образуют подкласс геометрических интеграторов, которые по определению являются каноническими преобразованиями. Они широко используются в нелинейной динамике, молекулярной динамике, методах дискретных элементов, физике ускорителей, физике плазмы, квантовой физике и небесной механике.

Введение

Симплектические интеграторы предназначены для численного решения уравнений Гамильтона, которые имеют вид

где обозначает координаты положения, – координаты импульса, а – гамильтониан. Набор координат положения и импульса называется каноническими координатами. (Подробнее см. в разделе, посвященном гамильтоновой механике.) Временная эволюция уравнений Гамильтона представляет собой симплектоморфизм, то есть сохраняет симплектическую 2-форму. Численная схема является симплектическим интегратором, если она также сохраняет эту 2-форму. Симплектические интеграторы также могут сохранять гамильтониан, который незначительно отличается от исходного (это справедливо лишь для небольшого класса простых случаев). Благодаря этим преимуществам схема СИ широко используется для расчетов долгосрочной эволюции хаотических гамильтоновых систем, от задачи Кеплера до классического и полуклассического моделирования в молекулярной динамике. Большинство стандартных численных методов, таких как простейшая схема Эйлера и классическая схема Рунге — Кутты, не являются симплектическими интеграторами.

Пример четвертого порядка

Интегратор четвертого порядка (с ) также был открыт Рутом в 1983 году и распространялся в частном порядке среди сообщества разработчиков ускорителей частиц в то время. Это было описано в оживленной обзорной статье Фореста. Этот интегратор четвертого порядка был опубликован в 1990 году Форестом и Рутом, а также независимо открыт двумя другими группами примерно в то же время. Для определения этих коэффициентов можно использовать формулу Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа. Йошида, в частности, приводит элегантное выведение коэффициентов для интеграторов более высокого порядка. Позднее Бланс и Моан дополнительно разработали разделенные методы Рунге — Кутты для интегрирования систем с разделяемыми гамильтонами с очень малыми константами погрешности.

Методы деления для общих неразделимых гамильтонов

Общие неразделимые гамильтонианы также могут быть явно и симплектически интегрированы. Для этого Тао ввел ограничение, связывающее две копии фазового пространства, чтобы обеспечить явное разделение таких систем. Идея заключается в том, что вместо симулируют , решение которого совпадает с решением в том смысле, что . Новый гамильтониан выгоден для явной симплектической интеграции, поскольку его можно разложить на сумму трех подгамильтонианов: , , и . Точные решения всех трех подгамильтонианов могут быть получены явно: оба решения соответствуют сдвигам несовпадающих положения и импульса, а – линейному преобразованию. Для симплектической симуляции системы достаточно просто последовательно применить эти отображения решений.

В физике плазмы

В последние десятилетия симплектические интеграторы в физике плазмы стали активно исследуемой темой, поскольку прямое применение стандартных симплектических методов не соответствует требованиям крупномасштабного моделирования плазмы, обеспечиваемого вычислительным оборудованием от петафлопсной до экзафлопсной мощности. Специальные симплектические алгоритмы необходимо разрабатывать, опираясь на специфические структуры решаемой физической задачи. Одним из таких примеров является динамика заряженных частиц в электромагнитном поле. При канонической симплектической структуре гамильтониан динамики имеет вид, в котором зависимости от и не разделяются, и стандартные явные симплектические методы неприменимы. Однако для крупномасштабных расчетов на массивно-параллельных кластерах предпочтительны явные методы. Чтобы преодолеть эту трудность, можно изучить специфический способ переплетения зависимостей от и в данном гамильтониане и попытаться разработать симплектический алгоритм, предназначенный именно для этой или подобного типа задачи. Прежде всего, отметим, что зависимость от является квадратичной, поэтому симплектический метод Эйлера первого порядка, неявный по , на самом деле является явным. Это используется в каноническом симплектическом алгоритме «частица в ячейке» (PIC). Для построения явных методов более высокого порядка мы далее отмечаем, что зависимости от и в данном гамильтониане разделяются произведением, и с помощью производящих функций можно построить явные симплектические алгоритмы второго и третьего порядка, а также симплектические интеграторы произвольно высокого порядка для электромагнитных полей, зависящих от времени, с использованием методов Рунге-Кутты. Более элегантной и универсальной альтернативой является рассмотрение следующей неканонической симплектической структуры задачи. Общего симплектического интегратора для неконстантной неканонической симплектической структуры, явного или неявного, не существует. Однако для этой конкретной задачи можно построить семейство явных неканонических симплектических интеграторов высокого порядка с использованием метода расщепления Хи. Разделив задачу на 4 части, мы неожиданно обнаруживаем, что для каждой подсистемы, например, и , карту решения можно записать явно и вычислить точно. Затем, используя различные композиции, можно построить явные неканонические симплектические алгоритмы высокого порядка. Пусть и обозначают точные карты решения для 4 подсистем. Симплектическая схема первого порядка имеет вид, а симметричная симплектическая схема второго порядка – вид, который представляет собой модифицированное расщепление Странга. Схему порядка можно построить из схемы порядка с использованием метода тройного скачка. Метод расщепления Хи является одним из ключевых методов, используемых в структура-сохраняющих геометрических алгоритмах «частица в ячейке» (PIC).