Кіріспе

Эмил Артиннің примитивті түбірлер туралы болжамы

Сандар теориясында Артиннің примитивті түбірлер туралы болжамы, берілген бүтін сан a, егер ол квадрат сан немесе −1 болмаса, онда ол шексіз көп сандықтарға p модуль бойынша примитивті түбір болады деп мәлімдейді. Бұл болжам сондай-ақ осы сандықтардың асимптотикалық тығыздығын да анықтайды. Бұл болжамдық тығыздық Артин тұрақтысына немесе оның рационалды есесіне тең. Бұл болжамды Эмиль Артин 1927 жылғы 27 қыркүйекте Хельмут Хассеге айтқан, оның күнделігінде осылай жазылған. 2023 жылға дейін бұл болжам әлі де шешілмеген. Шындығында, Артиннің болжамын дәлелдейтін бірде-бір a мәні жоқ.

Мысал

Мысалы, a = 2 деп алайық. Бұл болжам бойынша 2-нің түпнұсқа тамыр болып табылатын p жай сандары жиынының тығыздығы жоғарыда көрсетілген CArtin-ге тең. Мұндай жай сандар жиыны:
S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, …}. Оның 500-ден кіші 38 мүшесі бар, ал 500-ден кіші 95 жай сан бар. Бұл қатынас (болжам бойынша CArtin-ге жақындасады) 38/95 = 2/5 = 0,4-ке тең.

Ішінара нәтижелер

1967 жылы Кристофер Хули болжамның шартты дәлелін жариялады, жалпыланған Риман гипотезасының белгілі бір жағдайларын қабылдап. Жалпыланған Риман гипотезасы болмаса, Артиннің болжамы дәлелденген a-ның бірде-бір мәні жоқ. Д. Р. Хит Браун (қосымша 1) кем дегенде 2, 3 немесе 5 сандары шексіз көп p сандары үшін түпнұсқа түбір болатынын дәлелдеді. Ол сондай-ақ (қосымша 2) Артиннің болжамы орындалмаған ең көп дегенде екі жай сан бар екенін дәлелдеді.

Эллипстік қисық

Эллипстік қисық берілген болжамда, Ланг пен Троттер Артиннің түбірлік болжамына ұқсас, рационалдық нүктелерге қатысты болжам жасады. Атап айтқанда, олар рационалдық нүктелер жиынында шексіз реттік нүкте үшін тұрақты сан бар екенін айтты, сонда нүктенің қысқартылуы арқылы нүктелердің толық жиынын тудыратын p саны, арқылы белгіленген, мына формуламен беріледі. Мұнда біз координаттарының бөлгіштерін бөлетін p сандарын ескермейміз. Гупта мен Мурти, жалпыланған Риман гипотезасы бойынша, күрделі көбейтуі бар қисықтар үшін Ланг пен Троттер болжамын дәлелдеді, яғни тиісті жорамал емес квадраттық өрісте бөлінетін p сандары үшін, олар барлық p сандарының жартысы үшін ғана асимптотикалық формуланы дәлелдеді, Ланг пен Троттер болжамының нақты жағдайын тексермейді, ол барлық p сандары үшін айтылады және, мүмкін, толығымен жалған! Сонымен қатар, Гупта мен Мурти өздерінің асимптотикалық формуласының басты мүшесі күрделі көбейтуі бар эллипстік қисықтардың кейбір ерекше кластары үшін оң екенін дәлелдеді. Егер P тобының g жеткілікті үлкен болғанда (яғни g>20) , қисығындағы бірнеше тәуелсіз сызықтық нүктелер P1, P2, ..., Pg арқылы туындағандығын қарастырсақ, онда Гупта мен Мурти оң басты мүшесі бар барлық p сандары үшін, күрделі көбейтуі бар эллипстік қисықтардың кейбір кластары үшін асимптотикалық формула алды, және асимптотикалық формула бар нүктелер P1, P2, ..., Pg-дің ең кіші жиынтығы қандай деп сұрауға болады. Бұл нәтижені Артиннің түбірлік болжамына ұқсас деп қарастыруға болады!

Тіпті тәртіп

Кришнамурти премьердің ондық кеңеюінің кезеңінің жұп болуы қаншалықты жиі кездесетіні туралы сұрақ қойды. Мәлімдемеге сәйкес, премьердің белгілі бір негіздегі ондық кеңею кезеңі жұп болады, егер және тек қана егер , мұнда және бірегей болса, ал p осыған сай болса. Бұл нәтиже 1966 жылы Хассе тарапынан дәлелденді.