Введение

Предположение Эмиля Артина о примитивных корнях

В теории чисел предположение Артина о примитивных корнях утверждает, что для данного целого числа *a*, которое не является ни полным квадратом, ни −1, существуют бесконечно много простых чисел *p*, для которых *a* является примитивным корнем по модулю *p*. Предположение также предсказывает асимптотическую плотность этих простых чисел. Эта предполагаемая плотность равна постоянной Артина или рациональному кратному этой постоянной. Эмиль Артин сформулировал это предположение в беседе с Хельмутом Хассе 27 сентября 1927 года, об этом свидетельствует дневник Хассе. По состоянию на 2023 год предположение остается нерешенным. Фактически, не существует такого значения *a*, для которого предположение Артина было бы доказано.

Пример

Например, возьмем a = 2. Предположение утверждает, что множество простых чисел p, для которых 2 является примитивным корнем, имеет указанную выше плотность CArtin. Множество таких простых чисел: S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491}. В нем 38 элементов меньше 500, а всего простых чисел меньше 500 – 95. Отношение (которое, как предполагается, стремится к CArtin) равно 38/95 = 2/5 = 0,4.

Частичные результаты

В 1967 году Кристофер Хули опубликовал условное доказательство гипотезы, предполагая справедливость определенных случаев обобщенной гипотезы Римана. Без обобщенной гипотезы Римана не существует такого единого значения *a*, для которого гипотеза Артина была бы доказана. Д. Р. Хит-Браун доказал (следствие 1), что хотя бы одно из чисел 2, 3 или 5 является первообразным корнем по модулю бесконечного числа простых чисел *p*. Он также доказал (следствие 2), что существует не более двух простых чисел, для которых гипотеза Артина не выполняется.

Эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая, заданная , Ланг и Троттер сформулировали гипотезу для рациональных точек, аналогичную гипотезе Артина о первообразных корнях. В частности, они предположили, что существует константа для заданной точки бесконечного порядка в множестве рациональных точек , такая, что число простых чисел, для которых редукция точки, обозначаемая , генерирует все множество точек в , обозначаемое , определяется как . Здесь мы исключаем простые числа, делящие знаменатели координат .

Гупта и Мурти доказали гипотезу Ланга и Троттера для эллиптических кривых с комплексным умножением при условии верности обобщенной гипотезы Римана, для простых чисел, расщепляющихся в соответствующем мнимом квадратичном поле. То есть, они доказали некоторую асимптотическую формулу лишь для половины простых чисел, фактически не проверив ни одного конкретного случая гипотезы Ланга и Троттера, которая сформулирована для всех простых чисел и, вероятно, полностью неверна! Более того, Гупта и Мурти доказали, что главный член их асимптотической формулы положителен для определенных классов эллиптических кривых с комплексным умножением. Если рассмотреть группу P, порожденную несколькими линейно независимыми точками P1, P2, ..., Pg в , при достаточно большом g (то есть g > 20), то Гупта и Мурти действительно получили асимптотическую формулу для всех простых чисел с положительным главным членом для некоторых конкретных классов эллиптических кривых с комплексным умножением. В связи с этим возникает вопрос о минимальных подмножествах P1, P2, ..., Pg, для которых существует такая асимптотическая формула. Этот результат можно рассматривать как аналогию гипотезы Артина о первообразных корнях!

Даже порядок

Кришнамурти поставил вопрос о том, как часто период десятичного разложения простого числа является четным. Утверждается, что период десятичного разложения простого числа в некотором основании является четным тогда и только тогда, когда , где и уникальны, а p – такое, что это утверждение было доказано Хассе в 1966 году.