Кіріспе
Дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған итеративтік сандық әдістер класы. Сызықтық көп қадамды әдістер, қалыпты дифференциалдық теңдеулерді сандық түрде шешу үшін қолданылады. Негізінде, сандық әдіс бастапқы нүктеден басталып, кейін келесі шешім нүктесін табу үшін уақыт бойынша қысқа қадам жасайды. Бұл процесс шешімді анықтау үшін келесі қадамдармен жалғасады. Бір қадамдық әдістер (мысалы, Эйлер әдісі) ағымдағы мәнді анықтау үшін тек бір алдыңғы нүкте мен оның туындысын пайдаланады. Рунге-Кутта сияқты әдістер жоғары дәрежелі әдіс алу үшін аралық қадамдар жасайды (мысалы, жартылай қадам), бірақ екінші қадамды жасамас бұрын барлық алдыңғы ақпаратты жояды. Көп қадамды әдістер алдыңғы қадамдардың ақпаратын жоюдың орнына сақтап, пайдалану арқылы тиімділікті арттыруға тырысады. Осылайша, көп қадамды әдістер бірнеше алдыңғы нүктелер мен туынды мәндерін пайдаланады. Сызықтық көп қадамды әдістерде алдыңғы нүктелер мен туынды мәндердің сызықтық комбинациясы қолданылады.
Linear multistep methods are used for the numerical solution of ordinary differential equations. Conceptually, a numerical method starts from an initial point and then takes a short step forward in time to find the next solution point. The process continues with subsequent steps to map out the solution. Single step methods (such as Euler's method) refer to only one previous point and its derivative to determine the current value. Methods such as Runge–Kutta take some intermediate steps (for example, a half step) to obtain a higher order method, but then discard all previous information before taking a second step. Multistep methods attempt to gain efficiency by keeping and using the information from previous steps rather than discarding it. Consequently, multistep methods refer to several previous points and derivative values. In the case of linear multistep methods, a linear combination of the previous points and derivative values is used.
Екі қадамдық Адамс-Бэшфорт
Ойлер әдісі бір қадамдық әдіс. Қарапайым көп қадамдық әдіс – екі қадамдық Адамс-Бэшфорт әдісі.
Бұл әдіс келесі мәнді есептеу үшін екі мән, және қажет. Алайда, бастапқы шарт мәселесі тек бір мән ғана береді. Бұл мәселені шешудің бір жолы – Эйлер әдісімен есептелгенін екінші мән ретінде пайдалану. Осы таңдау бойынша Адамс-Бэшфорт әдісі келесіні береді (төрт разрядқа дейін дөңгелектелген):
-дағы нақты шешім , сондықтан екі қадамдық Адамс-Бэшфорт әдісі Ойлер әдісінен дәлірек. Егер қадам өлшемі жеткілікті кіші болса, бұл әрқашан осылай болады.
Көп сатылы әдістердің отбасылары
Сызықтық көпсатылы әдістердің үш негізгі түрі кеңінен қолданылады: Адамс-Бэшфорт әдістері, Адамс-Мултон әдістері және кері дифференциалдау формулалары (BDF).
Артқа қарай дифференциациялау формулалары (BDF)
BDF әдістері – ымқыл әдістер болып табылады, ал қалған коэффициенттер әдіс s ретіне (максималды мүмкін болатын) жетуі үшін таңдалады. Бұл әдістер, әсіресе, қатаң дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін қолданылады.
Талдау
Сызықтық көп сатылы әдістерді талдаудағы негізгі ұғымдар, және жалпы дифференциалдық теңдеулерді сандық түрде шешу әдістері – конвергенция, тәртіп және тұрақтылық.
Екінші Дальквист кедергісі
Екінші Дальквист кедергісі ешбір нақты сызықтық көп қадамды әдістердің А тұрақты еместігін көрсетеді. Бұдан әрі, (жасырын) А тұрақты сызықтық көп қадамды әдістің ең жоғары реті 2-ге тең. 2-ші реттік А тұрақты сызықтық көп қадамды әдістердің арасында трапеция тәсілі ең кішкентай қателік тұрақтысына ие.