Введение
Класс итеративных численных методов для решения дифференциальных уравнений
Линейные многоступенчатые методы используются для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. По своей сути, численный метод начинается с начальной точки, а затем делает небольшой шаг по времени для нахождения следующей точки решения. Этот процесс продолжается последующими шагами для построения решения. Одношаговые методы (такие как метод Эйлера) используют только одну предыдущую точку и ее производную для определения текущего значения. Методы, такие как Рунге — Кутта, выполняют некоторые промежуточные шаги (например, полушаг) для получения метода более высокого порядка, но затем отбрасывают всю предыдущую информацию перед выполнением следующего шага. Многошаговые методы стремятся к повышению эффективности, сохраняя и используя информацию из предыдущих шагов, а не отбрасывая ее. Следовательно, многошаговые методы опираются на несколько предыдущих точек и значения их производных. В случае линейных многошаговых методов используется линейная комбинация предыдущих точек и значений производных.
Двухступенчатый Адамс-Бэшфорт
Метод Эйлера — это одношаговый метод. Простой многошаговый метод — двухшаговый метод Адамса — Башфорта.
Для вычисления следующего значения этому методу требуются два значения, и . Однако, задача с начальным условием предоставляет только одно значение. Один из способов решения этой проблемы — использовать значение, вычисленное методом Эйлера, в качестве второго значения. При таком выборе метод Адамса — Башфорта дает (округлено до четырех знаков):
Точное решение в равно , поэтому двухшаговый метод Адамса — Башфорта точнее, чем метод Эйлера. Это всегда верно, если размер шага достаточно мал.
Семейства многоступенчатых методов
Обычно используются три семейства линейных многоступенчатых методов: методы Адамса-Бэшфорта, методы Адамса-Мултона и формулы обратной дифференциации (BDF).
Формулы обратной дифференциации (BDF)
Методы BDF — это неявные методы, коэффициенты которых (включая другие) выбираются таким образом, чтобы метод достигал порядка s (максимально возможного). Эти методы особенно эффективны при решении жестких дифференциальных уравнений.
Анализ
Центральными понятиями в анализе линейных многоступенчатых методов, и в самом деле любого численного метода для дифференциальных уравнений, являются сходимость, порядок и устойчивость.
Второй барьер Дальквиста
Второй барьер Дальквиста утверждает, что никакие явные линейные многошаговые методы не являются A-устойчивыми. Более того, максимальный порядок (неявного) A-устойчивого линейного многошагового метода равен 2. Среди A-устойчивых линейных многошаговых методов второго порядка, трапециевидное правило обладает наименьшей постоянной погрешности.