Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық түсінік. Гомологиялық айналы симметрия – Максим Концевич ұсынған математикалық болжам. Ол физиктердің жол теориясын зерттеу кезінде алғаш байқаған айна симметриясы деп аталатын құбылысты математикалық тұрғыдан жүйелі түрде түсіндіруге бағытталған.
Mathematics concept
Homological mirror symmetry is a mathematical conjecture made by Maxim Kontsevich. It seeks a systematic mathematical explanation for a phenomenon called mirror symmetry first observed by physicists studying string theory.
Тарих
1994 жылы Цюрихте өткен Халықаралық математиктер конгресінде Калаби–Яу көптүрліліктерінің X және Y жұбының айналы симметриясы X-тің алгебралық геометриясынан құрастырылған үшбұрышты категория (X-тегі когерентті қабықшалардың туынды категориясы) және Y-дің симплекстік геометриясынан құрастырылған үшбұрышты категория (Fukaya туынды категориясы) арасындағы баламалылық ретінде түсіндірілуі мүмкін деген болжам жасалды. Эдвард Виттен бастапқыда N=(2,2) суперсимметриялық өріс теориясының топологиялық бұрылысын А және В модельді топологиялық жіп теориялары деп атаған нәрсеге сипаттады. Бұл модельдер Риманн беттерінен белгіленген мақсатқа – әдетте Калаби–Яу көптүрлігіне – карталауға қатысты. Айналы симметрияның көптеген математикалық болжамдары Y-дегі A моделінің және оның X айнасындағы B моделінің физикалық теңдестігіне енген. Риманн беттерінде шекара болмаса, олар жабық жіптердің әлемдік парақшаларын көрсетеді. Ашық жіптерді қарастыру үшін суперсимметрияны сақтау үшін шекаралық шарттарды енгізу қажет. A моделінде бұл шекаралық шарттар Y-дің Лагранж субкөптүрлілігі түрінде, кейбір қосымша құрылыммен (көбінесе брандық құрылым деп аталады) келеді. B моделінде шекаралық шарттар X-тің голоморфты (немесе алгебралық) субкөптүрлілігі түрінде болады, олардың үстінде голоморфты (немесе алгебралық) векторлық шоғырлар болады. Бұл – тиісті категорияларды құру үшін қолданылатын объектілер. Олар көбінесе А және В брандары деп аталады. Категориялардағы морфизмдер екі брань арасында созылатын ашық жіптердің массасыз спектрімен беріледі. Жабық жіп A және B модельдері толық жіп теориясының шағын бөлігін ғана, яғни «топологиялық секторды» қамтиды. Сол сияқты, бұл модельдердегі брандар толық динамикалық объектілердің – D брандарының – топологиялық жуықтамалары болып табылады. Дегенмен, осы жіп теориясының шағын бөлігінен туындаған математика терең және қиын болды. Принстон Жоғары оқу орнының математика мектебі 2016–2017 оқу жылында бір жыл бойы гомологиялық айна симметриясына арнады. Қатысушылардың арасында MIT-тен Пол Зайдель, IHÉS-тен Максим Концевич және UC Берклиден Денис Ауру бар еді.
In an address to the 1994 International Congress of Mathematicians in Zürich, speculated that mirror symmetry for a pair of Calabi–Yau manifolds X and Y could be explained as an equivalence of a triangulated category constructed from the algebraic geometry of X (the derived category of coherent sheaves on X) and another triangulated category constructed from the symplectic geometry of Y (the derived Fukaya category). Edward Witten originally described the topological twisting of the N=(2,2) supersymmetric field theory into what he called the A and B model topological string theories. These models concern maps from Riemann surfaces into a fixed target—usually a Calabi–Yau manifold. Most of the mathematical predictions of mirror symmetry are embedded in the physical equivalence of the A model on Y with the B model on its mirror X. When the Riemann surfaces have empty boundary, they represent the worldsheets of closed strings. To cover the case of open strings, one must introduce boundary conditions to preserve the supersymmetry. In the A model, these boundary conditions come in the form of Lagrangian submanifolds of Y with some additional structure (often called a brane structure). In the B model, the boundary conditions come in the form of holomorphic (or algebraic) submanifolds of X with holomorphic (or algebraic) vector bundles on them. These are the objects one uses to build the relevant categories. They are often called A and B branes respectively. Morphisms in the categories are given by the massless spectrum of open strings stretching between two branes. The closed string A and B models only capture the so called topological sector—a small portion of the full string theory. Similarly, the branes in these models are only topological approximations to the full dynamical objects that are D branes. Even so, the mathematics resulting from this small piece of string theory has been both deep and difficult. The School of Mathematics at the Institute for Advanced Study in Princeton devoted a whole year to Homological Mirror Symmetry during the 2016 17 academic year. Among the participants were Paul Seidel from MIT, Maxim Kontsevich from IHÉS, and Denis Auroux, from UC Berkeley.
Мысалдар
Тек бірнеше мысалда ғана математиктер бұл болжамды тексеріп шыға алды. Өзінің маңызды баяндамасында Концевич бұл болжамды тета функцияларын қолдана отырып, эллиптік қисықтар жағдайында дәлелдеуге болатынын атап өтті. Осы бағытты ұстанған Александр Полишчук пен Эрик Заслоу эллиптік қисықтарға қатысты болжамның бір түрін дәлелдеді. Кенджи Фукая абельдік сорттар үшін болжамның кейбір элементтерін орнатуға қол жеткізді. Кейін Концевич пен Ян Сойбельман SYZ болжамынан идеялар алып, аффиндік көптеулер үстіндегі сингуляр емес торлар жиынтығы үшін болжамның көп бөлігін дәлелдеді. 2003 жылы Пол Зайдель төртінші дәрежелі бет үшін болжамды дәлелдеді. 2002 жылы Хитчин жүйесі және Лэнгленд дуалдылығы тұрғысынан SYZ болжамын түсіндірді.
Only in a few examples have mathematicians been able to verify the conjecture. In his seminal address, Kontsevich commented that the conjecture could be proved in the case of elliptic curves using theta functions. Following this route, Alexander Polishchuk and Eric Zaslow provided a proof of a version of the conjecture for elliptic curves. Kenji Fukaya was able to establish elements of the conjecture for abelian varieties. Later, Kontsevich and Yan Soibelman provided a proof of the majority of the conjecture for nonsingular torus bundles over affine manifolds using ideas from the SYZ conjecture. In 2003, Paul Seidel proved the conjecture in the case of the quartic surface. In 2002 explained SYZ conjecture in the context of Hitchin system and Langlands duality.
Ходж алмасы
Гармоникалық (p,q) дифференциалдық формалардың кеңістіктерінің өлшемдері hp,q (эквивалентті түрде, кохомология, яғни жабық формалардың нақты формаларға қатынасы) дәстүрлі түрде Ходж алмазы деп аталатын алмаз тәрізді пішінде ұйымдастырылады. Бұл (p,q) Бетти сандарын Фридрих Хирцебрух сипаттаған генерациялық функция арқылы толық қиылыстар үшін есептеуге болады. Мысалы, үш өлшемді көпқырлы үшін Ходж алмазында p және q 0-ден 3-ке дейін өзгереді:
The dimensions hp,q of spaces of harmonic (p,q) differential forms (equivalently, the cohomology, i. e., closed forms modulo exact forms) are conventionally arranged in a diamond shape called the Hodge diamond. These (p,q) Betti numbers can be computed for complete intersections using a generating function described by Friedrich Hirzebruch. For a three dimensional manifold, for example, the Hodge diamond has p and q ranging from 0 to 3:
Айналы симметрия бастапқы көпқырлының (p,q) дифференциалдық формасының өлшемдерін hp,q қарсы жұп көпқырлының өлшемдеріне hn p,q дейін түрлендіреді. Атап айтқанда, кез келген Калаби-Яу көпқырлы үшін Ходж алмазы π радианға бұрылғанда өзгермейді, ал айна Калаби-Яу көпқырлыларының Ходж алмаздары π/2 радианға бұрылу арқылы байланысты. Эллипстік қисық, 1 өлшемді Калаби-Яу көпқырлы ретінде қарастырылғанда, Ходж алмазы ерекше қарапайым: ол келесі суретте көрсетілген. K3 беті, 2 өлшемді Калаби-Яу көпқырлы ретінде қарастырылғанда, Бетти сандары {1, 0, 22, 0, 1} болғандықтан, оның Ходж алмазы келесі суретте көрсетілген. 3 өлшемді жағдайда, әдетте Калаби-Яу көпқырлы деп аталатын жағдайда, өте қызықты нәрсе орын алады. Кейде M және W сияқты айна жұптары болады, олардың Ходж алмаздары диагональ бойымен бір-біріне симметриялы болады. M-нің алмазы: W-ның алмазы: M және W сәйкесінше A және B модельдеріне сәйкес келеді. Айналы симметрия гомологиялық өлшемдерді ғана емес, сонымен қатар айна жұптарындағы симплектикалық және күрделі құрылымдарды да алмастырады. Осының нәтижесінде гомологиялық айналы симметрия пайда болады. 1990 және 1991 жылдары осы мәселе санамалық алгебралық геометрияға ғана емес, сонымен қатар математиканың барлық саласына үлкен әсер етті және осы мақаладағы екі квинтикалық үштіктің айна жұптары келесі Ходж алмаздарына ие.
Mirror symmetry translates the dimension number of the (p, q) th differential form hp,q for the original manifold into hn p,q of that for the counter pair manifold. Namely, for any Calabi–Yau manifold the Hodge diamond is unchanged by a rotation by π radians and the Hodge diamonds of mirror Calabi–Yau manifolds are related by a rotation by π/2 radians. In the case of an elliptic curve, which is viewed as a 1 dimensional Calabi–Yau manifold, the Hodge diamond is especially simple: it is the following figure. In the case of a K3 surface, which is viewed as 2 dimensional Calabi–Yau manifold, since the Betti numbers are {1, 0, 22, 0, 1}, their Hodge diamond is the following figure. In the 3 dimensional case, usually called the Calabi–Yau manifold, a very interesting thing happens. There are sometimes mirror pairs, say M and W, that have symmetric Hodge diamonds with respect to each other along a diagonal line. M'''s diamond:W's diamond:M and W'' correspond to A and B model in string theory. Mirror symmetry not only replaces the homological dimensions but also the symplectic structure and complex structure on the mirror pairs. That is the origin of homological mirror symmetry. In 1990 1991, had a major impact not only on enumerative algebraic geometry but on the whole mathematics and motivated The mirror pair of two quintic threefolds in this paper have the following Hodge diamonds.