Гомологическая симметрия зеркал: математическая гипотеза и ее развитие.

Введение

Гомологическая зеркальная симметрия — математическая гипотеза, предложенная Максимом Концевичем. Она направлена на поиск систематического математического объяснения феномена, известного как зеркальная симметрия, впервые обнаруженного физиками, изучающими теорию струн.

История

В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1994 году он предположил, что зеркальную симметрию для пары многообразий Калаби–Яу X и Y можно объяснить как эквивалентность треугольной категории, построенной из алгебраической геометрии X (производная категория когерентных пучков на X), и другой треугольной категории, построенной из симплектической геометрии Y (производная категория Фукая). Эдвард Виттен первоначально описал топологическое скручивание N=(2,2) суперсимметричной теории поля в то, что он назвал топологическими струнными теориями моделей A и B. Эти модели рассматривают отображения с поверхностей Римана в фиксированное целевое пространство, обычно многообразие Калаби–Яу. Большинство математических предсказаний зеркальной симметрии заключены в физической эквивалентности модели A на Y с моделью B на ее зеркале X. Когда поверхности Римана не имеют границы, они представляют собой мировые листы замкнутых струн. Для описания случая открытых струн необходимо ввести граничные условия, сохраняющие суперсимметрию. В модели A эти граничные условия представлены в виде лагранжевых подмногообразий Y с некоторой дополнительной структурой (часто называемой бранной структурой). В модели B граничные условия представлены в виде голоморфных (или алгебраических) подмногообразий X с голоморфными (или алгебраическими) векторными расслоениями на них. Это объекты, используемые для построения соответствующих категорий. Их часто называют соответственно A-бранами и B-бранами. Морфизмы в этих категориях задаются безмассовым спектром открытых струн, соединяющих две браны. Замкнутые струнные модели A и B охватывают лишь так называемый топологический сектор – небольшую часть полной теории струн. Аналогично, браны в этих моделях являются лишь топологическими аппроксимациями полных динамических объектов, которые являются D-бранами. Тем не менее, математика, вытекающая из этой части теории струн, оказалась глубокой и сложной. Школа математики Института перспективных исследований в Принстоне посвятила целый год изучению гомологической зеркальной симметрии в течение 2016–2017 учебного года. Среди участников были Пол Зайдель из MIT, Максим Концевич из IHÉS и Денис Ауру из UC Berkeley.

In an address to the 1994 International Congress of Mathematicians in Zürich, speculated that mirror symmetry for a pair of Calabi–Yau manifolds X and Y could be explained as an equivalence of a triangulated category constructed from the algebraic geometry of X (the derived category of coherent sheaves on X) and another triangulated category constructed from the symplectic geometry of Y (the derived Fukaya category). Edward Witten originally described the topological twisting of the N=(2,2) supersymmetric field theory into what he called the A and B model topological string theories. These models concern maps from Riemann surfaces into a fixed target—usually a Calabi–Yau manifold. Most of the mathematical predictions of mirror symmetry are embedded in the physical equivalence of the A model on Y with the B model on its mirror X. When the Riemann surfaces have empty boundary, they represent the worldsheets of closed strings. To cover the case of open strings, one must introduce boundary conditions to preserve the supersymmetry. In the A model, these boundary conditions come in the form of Lagrangian submanifolds of Y with some additional structure (often called a brane structure). In the B model, the boundary conditions come in the form of holomorphic (or algebraic) submanifolds of X with holomorphic (or algebraic) vector bundles on them. These are the objects one uses to build the relevant categories. They are often called A and B branes respectively. Morphisms in the categories are given by the massless spectrum of open strings stretching between two branes. The closed string A and B models only capture the so called topological sector—a small portion of the full string theory. Similarly, the branes in these models are only topological approximations to the full dynamical objects that are D branes. Even so, the mathematics resulting from this small piece of string theory has been both deep and difficult. The School of Mathematics at the Institute for Advanced Study in Princeton devoted a whole year to Homological Mirror Symmetry during the 2016 17 academic year. Among the participants were Paul Seidel from MIT, Maxim Kontsevich from IHÉS, and Denis Auroux, from UC Berkeley.

Примеры

Только в нескольких примерах математикам удалось проверить гипотезу. В своем основополагающем докладе Концевич отметил, что гипотезу можно доказать в случае эллиптических кривых, используя тета-функции. Развивая это направление, Александр Полишчук и Эрик Заслоу предоставили доказательство одной из версий гипотезы для эллиптических кривых. Кенджи Фукая смог установить некоторые элементы гипотезы для абелевых многообразий. Позднее Концевич и Ян Сойбельман доказали большую часть гипотезы для несингулярных расслоений торов над аффинными многообразиями, используя идеи, связанные с гипотезой SYZ. В 2003 году Пол Зайдель доказал гипотезу для квартичной поверхности. В 2002 году [имя] объяснил гипотезу SYZ в контексте системы Хичина и дуальности Лэнгленда.

Алмаз Ходж

Размеры hp,q пространств гармонических (p,q)-дифференциальных форм (эквивалентно, кохомологии, то есть классов гомологии замкнутых форм) обычно располагаются в форме алмаза, называемого алмазом Ходжа. Эти (p,q)-числа Бетти можно вычислить для полных пересечений, используя производящую функцию, описанную Фридрихом Хирцебрухом. Для трехмерного многообразия, например, в алмазе Ходжа p и q изменяются от 0 до 3:

Зеркальная симметрия переводит размерность (p, q)-й дифференциальной формы hp,q для исходного многообразия в hn p,q для соответствующего зеркального многообразия. А именно, для любого многообразия Калаби-Яу алмаз Ходжа не изменяется при повороте на π радиан, а алмазы Ходжа зеркальных многообразий Калаби-Яу связаны поворотом на π/2 радиан. В случае эллиптической кривой, рассматриваемой как одномерное многообразие Калаби-Яу, алмаз Ходжа особенно прост: он имеет следующий вид. В случае поверхности K3, рассматриваемой как двумерное многообразие Калаби-Яу, поскольку числа Бетти равны {1, 0, 22, 0, 1}, их алмаз Ходжа имеет следующий вид. В трехмерном случае, обычно называемом многообразием Калаби-Яу, происходит нечто очень интересное. Иногда существуют зеркальные пары, скажем, M и W, которые имеют симметричные алмазы Ходжа относительно друг друга относительно диагональной линии. Алмаз M: Алмаз W: M и W соответствуют A и B моделям в теории струн. Зеркальная симметрия не только заменяет гомологические размерности, но и симплектическую и комплексную структуры на зеркальных парах. Это является источником гомологической зеркальной симметрии. В 1990-1991 годах оказала значительное влияние не только на энумеративную алгебраическую геометрию, но и на всю математику и послужила мотивацией для изучения зеркальной пары двух квинтических трехмерных многообразий, алмазы Ходжа которых представлены в данной работе.