Кіріспе
Кез келген теріс емес бүтін санды дәл бір тәсілмен көрсетуге мүмкіндік беретін сандық жүйе. Биективті сандау – бұл кез келген сандық жүйе, онда кез келген теріс емес бүтін санды цифрлардың шекті тізбегін пайдаланып, дәл бір тәсілмен көрсетуге болады. Атауы, осы жағдайда теріс емес бүтін сандар жиыны мен шекті символдар жиынынан (“цифрлар”) тұратын шекті тізбектер жиыны арасындағы бір-бірге сәйкестікке (яғни, бірегей сәйкестікке) сілтеме жасайды. Көптеген қалыпты сандық жүйелер, мысалы, ондық жүйе, биективті емес, себебі бірдей оң бүтін санды көрсету үшін цифрлардың бірнеше тізбегі қолданылуы мүмкін. Атап айтқанда, басындағы нөлдерді қосу көрсетілетін мәнді өзгерте алмайды, сондықтан "1", "01" және "001" барлығы да бір санын көрсетеді. Тек біріншісі ғана қалыпты болғанымен, қалғандарының да болу мүмкіндігі ондық жүйені биективті емес етеді. Дегенмен, тек бір цифры бар унарлық сандық жүйе биективті болып табылады. Биективті k-негізді сандау – бұл биективті позициялық жазба. Ол әрбір оң бүтін санды кодтау үшін {1, 2, ..., k} жиынынан цифрлар тізбегін пайдаланады; цифрдың тізбектегі орны оның мәнін k-ның дәрежесіне көбейтілген түрінде анықтайды. Бұл жазба k-адық деп аталады, бірақ оны p-адық сандарымен шатастыруға болмайды: биективті сандар – бұл нөлдік емес цифрлардың шекті тізбектері арқылы қарапайым бүтін сандарды көрсету жүйесі, ал p-адық сандары – бүтін сандарды кіші жиын ретінде қамтитын және кез келген сандық көрсетуде шексіз цифрлар тізбектерін қажет ететін математикалық мәндер жүйесі.
Bijective numeration is any numeral system in which every non negative integer can be represented in exactly one way using a finite string of digits. The name refers to the bijection (i. e. one to one correspondence) that exists in this case between the set of non negative integers and the set of finite strings using a finite set of symbols (the "digits"). Most ordinary numeral systems, such as the common decimal system, are not bijective because more than one string of digits can represent the same positive integer. In particular, adding leading zeroes does not change the value represented, so "1", "01" and "001" all represent the number one. Even though only the first is usual, the fact that the others are possible means that the decimal system is not bijective. However, the unary numeral system, with only one digit, is bijective. A bijective base k numeration is a bijective positional notation. It uses a string of digits from the set {1, 2, , k} (where k ≥ 1) to encode each positive integer; a digit's position in the string defines its value as a multiple of a power of k. calls this notation k adic, but it should not be confused with the p adic numbers: bijective numerals are a system for representing ordinary integers by finite strings of nonzero digits, whereas the p adic numbers are a system of mathematical values that contain the integers as a subset and may need infinite sequences of digits in any numerical representation.
Мысалдар
34152 (биективті негіз 5) = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427 (ондық). 119A (биективті 10-дық негізде, "A" ондық санды білдіреді) = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200 (ондық). 26-дан астам элементі бар әдеттегі әліпбилік тізім биективті болып табылады, A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., ZX, ZY, ZZ, AAA, AAB, AAC ретімен.
Биективті 10- негізді жүйе
Биективті 10-дық жүйе – нөлді көрсету үшін цифр қолданбайтын ондық позициялық сандар жүйесі. Оның орнына онды көрсету үшін цифр бар, мысалы, А. Дәстүрлі ондық жүйедегідей, әр цифрдің орны онның дәрежесін көрсетеді, мысалы, 123 – «бір жүз, плюс екі ондық, плюс үш бірлік». Дәстүрлі ондық жүйеде нөлден басқа цифрларды ғана пайдаланып жазылған барлық оң бүтін сандар (мысалы, 123) биективті 10-дық жүйеде де сол күйінде жазылады. Нөлді пайдаланған сандарды қайта жазу қажет, мысалы, 10 – А, дәстүрлі 20 – 1А, дәстүрлі 100 – 9А, дәстүрлі 101 – А1, дәстүрлі 302 – 2А2, дәстүрлі 1000 – 99А, дәстүрлі 1110 – ААА, дәстүрлі 2010 – 19АА және т.б. Бұл жүйеде қосу және көбейту дәстүрлі ондық жүйедегідей, бірақ көшіру ондық оннан асқанда емес, тоғыздан асқанда пайда болады. Мысалы, 643 + 759 есептеу үшін он екі бірлік бар (оң жаққа 2 жазылып, 1 ондыққа көшіріледі), он ондық (А жазылады, жүздікке көшірудің қажеті жоқ), он үш жүздік (3 жазылып, 1 мыңдыққа көшіріледі) және бір мыңдық (1 жазылады), нәтижесінде дәстүрлі 1402-нің орнына 13А2 шығады.
Биективті 26-базалы жүйе
Биективті 26 негізді жүйеде латын әліпбиінің "A" мен "Z" әріптерін 1-ден 26-ға дейінгі 26 сандық мәнді көрсету үшін пайдалануға болады. (A=1, B=2, C=3, ..., Z=26) Осы белгілеу таңдауымен сандар тізбегі (1-ден басталады) A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB, BC, ... ретімен басталады.
With this choice of notation, the number sequence (starting from 1) begins A, B, C, , X, Y, Z, AA, AB, AC, , AX, AY, AZ, BA, BB, BC,
Each digit position represents a power of twenty six, so for example, the numeral WI represents the value 23 × 261 + 9 × 260 = 607 in base 10. Many spreadsheets including Microsoft Excel use this system to assign labels to the columns of a spreadsheet, starting A, B, C, , Z, AA, AB, , AZ, BA, , ZZ, AAA, etc. For instance, in Excel 2013, there can be up to 16384 columns (214 in binary code), labeled from A to XFD. Malware variants are also named using this system: for example, the first widespread Microsoft Word macro virus, Concept, is formally named WM/Concept. A, its 26th variant WM/Concept. Z, the 27th variant WM/Concept. AA, et seq. A variant of this system is used to name variable stars. It can be applied to any problem where a systematic naming using letters is desired, while using the shortest possible strings.
Әр цифрлық орны жиырма алтының дәрежесін көрсетеді, мысалы, WI саны 23 × 26¹ + 9 × 26⁰ = 607-ні 10-дық санау жүйесінде білдіреді. Көптеген электрондық кестелер, соның ішінде Microsoft Excel, осы жүйені пайдаланады, мысалы, Excel 2013 бағдарламасында A-дан XFD-ге дейін белгіленген 16384 бағанаға дейін (екілік кодта 2¹⁴) болуы мүмкін. Зыянды бағдарламалардың түрлері де осы жүйе арқылы аталады: мысалы, алғашқы кең таралған Microsoft Word макровирусы Concept ресми түрде WM/Concept деп аталады. А, оның 26-шы түрі WM/Concept. Z, 27-ші түрі WM/Concept. AA, және т.б. Осы жүйенің бір түрі өзгермелі жұлдыздарға атау беру үшін қолданылады. Оны әр әріпті жүйелі атау қажет болған кез келген мәселеге қолдануға болады, сонымен бірге мүмкіндігінше ең қысқа тізбектерді пайдалануға болады.
With this choice of notation, the number sequence (starting from 1) begins A, B, C, , X, Y, Z, AA, AB, AC, , AX, AY, AZ, BA, BB, BC,
Each digit position represents a power of twenty six, so for example, the numeral WI represents the value 23 × 261 + 9 × 260 = 607 in base 10. Many spreadsheets including Microsoft Excel use this system to assign labels to the columns of a spreadsheet, starting A, B, C, , Z, AA, AB, , AZ, BA, , ZZ, AAA, etc. For instance, in Excel 2013, there can be up to 16384 columns (214 in binary code), labeled from A to XFD. Malware variants are also named using this system: for example, the first widespread Microsoft Word macro virus, Concept, is formally named WM/Concept. A, its 26th variant WM/Concept. Z, the 27th variant WM/Concept. AA, et seq. A variant of this system is used to name variable stars. It can be applied to any problem where a systematic naming using letters is desired, while using the shortest possible strings.
Тарихи жазбалар
Әрбір теріс емес бүтін санның біективті k (k ≥ 1) негізінде бірегей түрде көрсетілуі – көп рет қайта ашылған "халық теоремасы". Алғашқы мысалдар k = 10 үшін, сондай-ақ барлық k ≥ 1 үшін келтірілген. Смуллиан бұл жүйені логикалық жүйедегі символдар тізбектеріне Гёдель нөмірін беру үшін пайдаланады; Бём осы көрсетулерді P" бағдарламалау тілінде есептеулер жасау үшін қолданады. k = 10 ерекше жағдайын айтады және k ≥ 2 жағдайларын талқылайды. Бұл тағы бір қайта ашылған жағдай сияқты көрінеді және ежелгі сандар жүйелері біективті k негізін қолданған жағдайда, бұл жүйемен таныс болмау салдарынан археологиялық құжаттарда олар осы ретінде танылмауы мүмкін деген гипотезаны ұсынады.