Кіріспе
Кейбір динамикалық жүйелер ақырында бастапқы күйіне қайта оралады немесе оған жақын болады. Математика мен физикада Пуанкаре қайталану теоремасы, белгілі бір динамикалық жүйелер жеткілікті ұзақ, бірақ шекті уақыт өткен соң, үздісіз күйдегі жүйелер үшін бастапқы күйіне кез келген дәрежеде жақын, ал дискретті күйдегі жүйелер үшін – дәл сол бастапқы күйіне қайта оралады деп мәлімдейді. Пуанкаре қайталану уақыты – қайталануға дейін өткен уақыттың ұзақтығы. Бұл уақыт нақты бастапқы күйге және қажетті жақындық дәрежесіне байланысты үлкен айырмашылықтарға ие болуы мүмкін. Бұл нәтиже белгілі бір шектеулерге бағынған, оқшауланған механикалық жүйелерге қолданылады, мысалы, барлық бөлшектер шекті көлемде болуы керек. Теорема, эргодикалық теория, динамикалық жүйелер және статистикалық механика контекстінде жиі талқыланады. Пуанкаре қайталану теоремасы қолданылатын жүйелер консервативті жүйелер деп аталады. Теорема Анри Пуанкаренің есімімен аталады, ол 1890 жылы осы теореманы талқылаған, ал 1919 жылы Константин Каратеодори өлшемдер теориясын қолданып оны дәлелдеген.
In mathematics and physics, the Poincaré recurrence theorem states that certain dynamical systems will, after a sufficiently long but finite time, return to a state arbitrarily close to (for continuous state systems), or exactly the same as (for discrete state systems), their initial state. The Poincaré recurrence time is the length of time elapsed until the recurrence. This time may vary greatly depending on the exact initial state and required degree of closeness. The result applies to isolated mechanical systems subject to some constraints, e. g., all particles must be bound to a finite volume. The theorem is commonly discussed in the context of ergodic theory, dynamical systems and statistical mechanics. Systems to which the Poincaré recurrence theorem applies are called conservative systems. The theorem is named after Henri Poincaré, who discussed it in 1890 and proved by Constantin Carathéodory using measure theory in 1919.
Нақты формула
Кез келген динамикалық жүйе, қалыпты дифференциалдық теңдеумен анықталса, фазалық кеңістікті өзіне-өзі бейнелейтін fₜ ағын картасын анықтайды. Жүйе көлемді сақтаушы деп аталады, егер фазалық кеңістіктегі жиынның көлемі ағын астында өзгермейтін болса. Мысалы, барлық Гамильтон жүйелері Лиувилль теоремасы бойынша көлемді сақтайды. Теорема мынадай: Егер ағын көлемді сақтаса және тек шектелген орбиталар болса, онда кез келген ашық жиын үшін осы жиынды қиып өтетін кез келген орбита оны шексіз көп рет қиып өтеді.
1- теорема
Кез келген жағдайда, үшін, барлық үшін нөлдік өлшемге ие болатын, -нің қайта оралатын нүктелер жиыны. Басқаша айтқанда, -нің дерлік барлық нүктелері -ге қайта оралады. Шындығында, дерлік барлық нүктелер шексіз көп рет қайта оралады; яғни.