Введение
Некоторые динамические системы в конечном итоге вернутся к своему начальному состоянию (или приблизятся к нему). В математике и физике теорема Пуанкаре о возврате утверждает, что определенные динамические системы, по истечении достаточно длительного, но конечного времени, вернутся в состояние, произвольно близкое к (для систем с непрерывными состояниями) или точно совпадающее с (для систем с дискретными состояниями) их начальным состоянием. Время повторения Пуанкаре – это промежуток времени, необходимый для этого возврата. Это время может значительно варьироваться в зависимости от конкретного начального состояния и требуемой степени близости. Результат применим к изолированным механическим системам, подчиняющимся определенным ограничениям, например, все частицы должны быть ограничены конечным объемом. Теорема обычно рассматривается в контексте эргодической теории, динамических систем и статистической механики. Системы, к которым применима теорема Пуанкаре о возврате, называются консервативными системами. Теорема названа в честь Анри Пуанкаре, который обсуждал её в 1890 году, и доказана Константином Каратеодори с использованием теории меры в 1919 году.
In mathematics and physics, the Poincaré recurrence theorem states that certain dynamical systems will, after a sufficiently long but finite time, return to a state arbitrarily close to (for continuous state systems), or exactly the same as (for discrete state systems), their initial state. The Poincaré recurrence time is the length of time elapsed until the recurrence. This time may vary greatly depending on the exact initial state and required degree of closeness. The result applies to isolated mechanical systems subject to some constraints, e. g., all particles must be bound to a finite volume. The theorem is commonly discussed in the context of ergodic theory, dynamical systems and statistical mechanics. Systems to which the Poincaré recurrence theorem applies are called conservative systems. The theorem is named after Henri Poincaré, who discussed it in 1890 and proved by Constantin Carathéodory using measure theory in 1919.
Точная формулировка
Любая динамическая система, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением, определяет отображение потока fₜ, отображающее фазовое пространство на само себя. Система называется сохраняющей объем, если объем множества в фазовом пространстве инвариантен относительно потока. Например, все гамильтоновы системы сохраняют объем в силу теоремы Лиувиля. Теорема формулируется следующим образом: если поток сохраняет объем и имеет только ограниченные орбиты, то для любого открытого множества любая орбита, пересекающая это открытое множество, пересекает его бесконечное число раз.
Теорема 1
Для любого ε, множество тех точек x из X, для которых существует T такое, что |x(t) - x(0)| < ε для всех t > T, имеет нулевую меру. Иными словами, почти каждая точка из X возвращается в окрестность начальной точки. Фактически, почти каждая точка возвращается в окрестность бесконечно часто; то есть…