Кіріспе
4/n-ге қосылатын бірлік бөлшектер туралы Эрдёс-Страус болжамы сандар теориясындағы дәлелденбеген бір мәлімдеме болып табылады. Бұл болжам бойынша, 2-ден жоғары кез келген бүтін сан үшін оң сандар бар, яғни , , және , олар үшін:
Басқаша айтқанда, кез келген санды үш оң бірлік бөлшектің қосындысы түрінде жазуға болады. Бұл болжамды 1948 жылы оны тұжырымдаған Пол Эрдёс және Эрнст Г. Страус есімдерімен атады, бірақ ол одан да көне математикамен байланысты; осы мәселедегідей бірлік бөлшектердің қосындылары ежелгі египет математикасында қолданылғандықтан «египеттік бөлшектер» деп аталады. Эрдёс-Страус болжамы – Эрдёстің көптеген болжамдарының бірі және Диофанти теңдеулеріне қатысты математикадағы көптеген шешілмеген мәселелердің бірі. n-нің барлық мәндері үшін шешім белгісіз болғанымен, белгілі бір шексіз арифметикалық прогрессиялардағы шексіз көп мәндерге шешім табу үшін қарапайым формулалар бар, ал осы белгілі мәндерді жіберip тастау қарсы мысалдарды іздеуді жылдамдатуы мүмкін. Бұған қоса, мұндай іздеулер тек жай сандардың мәндерін қарастыруы керек, себебі кез келген құрама қарсы мысалдың жай көбейткіштерінің арасында кішірек қарсы мысал табылады. Компьютерлік іздеулер болжамның дұрыстығын көрсетті. Егер болжам теріс бірлік бөлшектерге рұқсат ету үшін қайта тұжырымдалса, онда оның дұрыс екені белгілі. 5 немесе одан үлкен бөлшектерге болжамның жалпылама нұсқалары да зерттелді.
The Erdős–Straus conjecture is an unproven statement in number theory. The conjecture is that, for every integer that is 2 or more, there exist positive integers , , and for which
In other words, the number can be written as a sum of three positive unit fractions. The conjecture is named after Paul Erdős and Ernst G. Straus, who formulated it in 1948, but it is connected to much more ancient mathematics; sums of unit fractions, like the one in this problem, are known as Egyptian fractions, because of their use in ancient Egyptian mathematics. The Erdős–Straus conjecture is one of many conjectures by Erdős, and one of many unsolved problems in mathematics concerning Diophantine equations. Although a solution is not known for all values of n, infinitely many values in certain infinite arithmetic progressions have simple formulas for their solution, and skipping these known values can speed up searches for counterexamples. Additionally, these searches need only consider values of that are prime numbers, because any composite counterexample would have a smaller counterexample among its prime factors. Computer searches have verified the truth of the conjecture up to
If the conjecture is reframed to allow negative unit fractions, then it is known to be true. Generalizations of the conjecture to fractions with numerator 5 or larger have also been studied.
Негізгі деректер
Рационалды сан бірлік бөлшектердің қосындысына жіктелгенде, бұл жіктелу Египет бөлшегі деп аталады. Бөлшектерді осылай жазу тәсілі ежелгі Египет математикасына қатысты, онда бөлшектер қазіргі заманғы қарапайым бөлшек түрінде, яғни белгілі бір сандармен емес, оның орнына осылай жазылған. Египеттіктер бірлік бөлшектерді екі еселенген Египет бөлшектерінің кестелерін жасады, қазіргі нотацияда жазылатын сандарды, мысалы, Ринд математикалық папирусындағы кестелер; осы кестелердегі көптеген жіктелулер екі немесе үш мүшеден тұрады. Бұл кестелер қажет болды, себебі айқын жіктелуге рұқсат берілмеді: египеттіктер Египет бөлшегіндегі барлық бөлшектердің бір-бірінен өзгеше болуын талап етті. Барлық бөлшектердің әртүрлі болуы талабы кейде Эрдос-Штраус болжамында қолданылады, бірақ бұл мәселеге маңызды өзгеріс енгізбейді, өйткені бірлік бөлшектері бір-бірінен өзгеше емес кез келген шешімді олардың барлығы өзгеше болатын шешімге түрлендіруге болады; қараңыз төменде.
Айқын бірлік бөлшектер
Кейбір зерттеушілер , , және бүтін сандар бір-бірінен ерекшеленуі керек, мысырлықтар сияқты, ал басқалары оларды тең болуға мүмкіндік береді. -ға қатысты, олардың ерекше болуы талап етілмесе де маңызды емес: егер кез келген үш бүтін санмен шешім болса, онда әртүрлі бүтін сандармен де шешім болады. Себебі екі бірдей бірлік бөлшегін келесі екі түрлендірудің бірі арқылы алмастыруға болады: (қайталанатын бөлшектің атауы жұп немесе тақ болғандығына байланысты) және бұл алмастыру қайталанған бөлшектер қалмайынша қайталанып тұра береді. Алайда, -ға тек қана -ның орналасуы шешім болып табылады.
(according to whether the repeated fraction has an even or odd denominator) and this replacement can be repeated until no duplicate fractions remain. For , however, the only solutions are permutations of .
Теріс сандар үшін шешімдер
Ердос-Строс болжамы үшін , , және барлығы оң болуы керек. Бұл талап проблеманың қиындығына өте маңызды. Бұл талапты жеңілдетпесе де, Эрдёс-Страус болжамы тек -ның тақ мәндері үшін ғана қиын, егер теріс мәндерге рұқсат берілсе, онда мәселені әрбір тақ үшін келесі формула арқылы шешуге болады:
Есептеу нәтижелері
Егер болжам жалған болса, оны үш мүшелі өрнектемесі жоқ санды тауып, жалған екенін дәлелдеуге болады. Мұны тексеру үшін әртүрлі авторлар болжамға қарсы мысалдарды іздеу үшін қарапайым іздеу әдісін қолданды. Осындай іздеулер болжамның барлық сандарға дейін дұрыс екенін растады. Мұндай іздеулерде жай сан үшін ғана өрнеулерді іздеу қажет. Өйткені, егер санда үш мүшелі өрнектеме болса, онда барлық оң бүтін сандар үшін де солай болады. үшін шешім табу үшін, шешімдегі барлық бөлшектерді :қа бөліңіз.
In such searches, it is only necessary to look for expansions for numbers where is a prime number. This is because, whenever has a three term expansion, so does for all positive integers To find a solution for , just divide all of the unit fractions in the solution for by :
If were a counterexample to the conjecture, for a composite number , every prime factor of would also provide a counterexample that would have been found earlier by the brute force search. Therefore, checking the existence of a solution for composite numbers is redundant, and can be skipped by the search. Additionally, the known modular identities for the conjecture (see below) can speed these searches by skipping over other values known to have a solution. For instance, the greedy algorithm finds an expansion with three or fewer terms for every number where is not 1 modulo 4, so the searches only need to test values that are 1 modulo 4. One way to make progress on this problem is to collect more modular identities, allowing computer searches to reach higher limits with fewer tests. The number of distinct solutions to the problem, as a function of , has also been found by computer searches for small and appears to grow somewhat irregularly with Starting with , the numbers of distinct solutions with distinct denominators are
Even for larger there can sometimes be relatively few solutions; for instance there are only seven distinct solutions for .
Егер сандардың құрамы болжамға қарсы мысал болса, онда оның әрбір жай көбейткіші де қарсы мысал болады, ол қарапайым іздеу әдісімен бұрын табылған болар еді. Сондықтан, құрама сандар үшін шешімнің бар-жоғын тексеру артық, және оны іздеу кезінде өткізіп жіберуге болады. Сонымен қатар, болжамның белгілі модульдік теңдіктері (төменде қараңыз) шешімі бар екені белгілі басқа мәндерді өткізіп жіберіп, осы іздеулерді жылдамдатуы мүмкін. Мысалы, ашкөз алгоритмі 1-ге модуль 4-ке тең емес әрбір сан үшін үш немесе одан аз мүшелі өрнеуді табады, сондықтан іздеулер тек 1-ге модуль 4-ке тең мәндерді тексеруі керек. Бұл мәселені шешудің бір жолы – модульдік теңдіктерді жинау, бұл компьютерлік іздеулерге аз сынақтармен жоғары шектерге жетуге мүмкіндік береді. мәселесіне арналған ерекше шешімдердің саны, функциясы ретінде, компьютерлік іздеулер арқылы кішкентай мәндер үшін табылды және бастапқыда біршама ретсіз өсетіндей көрінеді. , әртүрлі бөлімдері бар ерекше шешімдердің саны тіпті үлкен мәндер үшін де салыстырмалы түрде аз болуы мүмкін; мысалы, үшін жеті ғана ерекше шешім бар.
In such searches, it is only necessary to look for expansions for numbers where is a prime number. This is because, whenever has a three term expansion, so does for all positive integers To find a solution for , just divide all of the unit fractions in the solution for by :
If were a counterexample to the conjecture, for a composite number , every prime factor of would also provide a counterexample that would have been found earlier by the brute force search. Therefore, checking the existence of a solution for composite numbers is redundant, and can be skipped by the search. Additionally, the known modular identities for the conjecture (see below) can speed these searches by skipping over other values known to have a solution. For instance, the greedy algorithm finds an expansion with three or fewer terms for every number where is not 1 modulo 4, so the searches only need to test values that are 1 modulo 4. One way to make progress on this problem is to collect more modular identities, allowing computer searches to reach higher limits with fewer tests. The number of distinct solutions to the problem, as a function of , has also been found by computer searches for small and appears to grow somewhat irregularly with Starting with , the numbers of distinct solutions with distinct denominators are
Even for larger there can sometimes be relatively few solutions; for instance there are only seven distinct solutions for .
Теориялық нәтижелер
Формадағы, бүтін санды айнымалылары бар полиномиалдық теңдеуде, Эрдёс-Строус болжамы Диофанти теңдеуінің мысалы болып табылады. Диофанти теңдеулері үшін Хассе принципі осы теңдеулерді модульдік арифметика қолданып зерттеуді ұсынады. Егер полиномиалдық теңдеудің бүтін сандарда шешімі болса, онда осы шешімді кез келген бүтін санға модуль бойынша алғанда, модульдік арифметикада шешім алынады. Керісінше, егер теңдеудің әрбір жай санның дәрежесі үшін модуль бойынша шешімі болса, онда кейбір жағдайларда осы модульдік шешімдерді, Қытайлық қалдық теоремасымен байланысты әдістерді пайдаланып, бүтін сандардағы шешімді құрастыру мүмкін. Хассе принципінің кейбір мәселелерді шешудегі күші Манин кедергісімен шектеледі, бірақ Эрдёс-Строус болжамы үшін мұндай кедергі жоқ. Көрінерінде, бұл принцип Эрдёс-Строус болжамы үшін көп мағына бермейді. Кез келген үшін, теңдеу кез келген жай санға немесе жай санның дәрежесіне модуль бойынша оңай шешіледі, бірақ осы шешімдерді біріктіріп, теңдеуге оң бүтін сан шешімін алудың жолы жоқ сияқты. Дегенмен, модульдік арифметика және модульдік арифметикаға негізделген өзгешеліктер болжамды зерттеуде өте маңызды құрал болып табылды.
Жалпылау
Форманың бөлшектеріне ұқсас, әрбір бөлшекті (for) үш оң бірлік бөлшектің қосындысы түрінде көрсетуге болады деген болжам бар. Болжамның жалпыланған түрінде, кез келген оң сан үшін, барлық, бірақ шекті сандағы бөлшектерді үш оң бірлік бөлшектің қосындысы ретінде жазуға болады. Бөлшектер үшін бұл болжамды 1956 жылы Вацлав Серпинский ұсынған, ал толық болжамды Серпинскийдің шәкірті Анджей Шинцельге жатқызған. Егер жалпыланған болжам кез келген белгілі бір мәні үшін жалған болса да, 1-ден бастап -қа дейінгі аралықта үш мүшелі кеңейтуі жоқ бөлшектердің саны тек сызықтық емес, сонымен қатар баяу өсуі керек. Атап айтқанда, егер Эрдёс-Штраус болжамының өзі (жағдай ) жалған болса, онда кері мысалдардың саны да баяу өседі. Одан да күштірек айтқанда, кез келген белгілі бір үшін, олардың Египет бөлшегінің кеңейтулерінде екі мүшеден артық қажет болатын -тың баяу өсетін саны ғана бар. Болжамның жалпыланған түрі кеңейтілмейтін бөлшектердің саны сызықтық емес, сонымен қатар шектеулі дегенге тең. Егер - тақ сан болса, Египет бөлшектері үшін тақ ашкөз кеңейту мәселесіне ұқсас, , және нақты оң тақ сандар болатын теңдеудің шешімдерін табуға болады. Бұл теңдеудің шешімі белгілі болған жағдайда әрқашан бар.