Введение

О единичных дробях, дающих в сумме 4/n

Гипотеза Эрдоша — Штрауса — это недоказанное утверждение в теории чисел. Она утверждает, что для каждого целого числа n, большего или равного 2, существуют положительные целые числа a, b и c, для которых
Иными словами, число 4/n можно представить в виде суммы трех различных единичных дробей. Гипотеза названа в честь Пола Эрдоша и Эрнста Г. Штрауса, которые сформулировали её в 1948 году, однако она связана с гораздо более древней математикой; суммы единичных дробей, подобные той, что рассматривается в этой задаче, известны как египетские дроби из-за их использования в древнеегипетской математике. Гипотеза Эрдоша — Штрауса — одна из многих гипотез, предложенных Эрдошем, и одна из многих нерешенных проблем в математике, связанных с диофантовыми уравнениями. Хотя решение не известно для всех значений n, бесконечно много значений в определенных бесконечных арифметических прогрессиях имеют простые формулы для их решения, и исключение этих известных значений может ускорить поиск контрпримеров. Кроме того, при поиске контрпримеров достаточно рассматривать только простые значения n, поскольку любой составной контрпример будет иметь меньший контрпример среди своих простых делителей. Компьютерные поиски подтвердили справедливость гипотезы для всех n до . Если гипотезу переформулировать, допустив отрицательные единичные дроби, то она будет верна. Также изучались обобщения гипотезы для дробей с числителем, равным 5 или большим.

История и происхождение

Когда рациональное число представляется в виде суммы единичных дробей, такое представление называется египетской дробью. Этот способ записи дробей восходит к математике Древнего Египта, где дроби записывались таким образом, а не в более современной форме обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. Египтяне составляли таблицы египетских дробей для единичных дробей, умноженных на два – чисел, которые в современной записи выглядели бы как , например, таблица в папирусе Ринда; в этих таблицах большинство таких представлений содержат два или три слагаемых. Эти таблицы были необходимы, поскольку очевидное представление не допускалось: египтяне требовали, чтобы все дроби в египетской дроби были различны. То же требование о том, чтобы все дроби были различными, иногда используется в гипотезе Эрдоша — Страуса, но это не оказывает существенного влияния на проблему, поскольку любое решение, в котором единичные дроби не различны, можно преобразовать в решение, где все они различны; подробности ниже.

Различные единичные дроби

Некоторые исследователи дополнительно требуют, чтобы целые числа , , и были различны друг от друга, как это делали египтяне, в то время как другие допускают их равенство. Для , не имеет значения, требуется ли их различность: если существует решение с любыми тремя целыми числами, то существует решение с различными целыми числами. Это объясняется тем, что две одинаковые единичные дроби можно заменить одним из следующих двух разложений: (в зависимости от того, четный или нечетный знаменатель у повторяющейся дроби), и эту замену можно повторять до тех пор, пока не останется повторяющихся дробей. Однако для , единственными решениями являются перестановки .

Решения отрицательных чисел

Предположение Эрдоша — Строса требует, чтобы все три из , , и были положительными. Это требование является ключевым фактором, определяющим сложность проблемы. Даже без этого смягчения, гипотеза Эрдоша — Строса сложна только для нечетных значений , и если бы допускались отрицательные значения, то проблему можно было бы решить для каждого нечетного по следующей формуле:

Вычислительные результаты

Если предположение неверно, его можно опровергнуть, просто найдя число, которое не имеет трехчленного представления. Для проверки этого различные авторы проводили поиск с помощью полного перебора в поисках контрпримеров к гипотезе. Поиски такого типа подтвердили, что гипотеза верна для всех чисел до В таких поисках необходимо искать разложения только для чисел, где является простым числом. Это связано с тем, что если число имеет трехчленное разложение, то и также имеет его для всех положительных целых чисел. Чтобы найти решение для , достаточно разделить все единичные дроби в решении для на :

Если бы было контрпримером к гипотезе, то для составного числа каждый простой делитель также предоставил бы контрпример, который был бы найден ранее при полном переборе. Следовательно, проверка существования решения для составных чисел избыточна и может быть пропущена при поиске. Кроме того, известные модульные тождества для гипотезы (см. ниже) могут ускорить эти поиски, пропуская другие значения, для которых известно решение. Например, жадный алгоритм находит разложение с тремя или менее слагаемыми для каждого числа, где не сравнимо с 1 по модулю 4, поэтому поиск нужно проводить только для значений, сравнимых с 1 по модулю 4. Один из способов продвинуться в решении этой проблемы — найти больше модульных тождеств, позволяющих компьютерным поискам достигать более высоких пределов с меньшим количеством проверок. Количество различных решений задачи как функция также было найдено компьютерными поисками для небольших и, по-видимому, растет несколько нерегулярно. Начиная с , количество различных решений с различными знаменателями равно

Даже для больших иногда может быть относительно мало решений; например, для существует только семь различных решений.

Теоретические результаты

В форме, многочленное уравнение с целочисленными переменными, гипотеза Эрдоша — Строса является примером диофантового уравнения. Принцип Хассе для диофантовых уравнений предполагает, что такие уравнения следует изучать с использованием модульной арифметики. Если у многочленного уравнения есть решение в целых числах, то взятие этого решения по модулю *m*, для любого целого числа *m*, дает решение в арифметике по модулю *m*. И наоборот, если уравнение имеет решение по модулю *p<sup>k</sup>* для каждой степени простого числа *p*, то в некоторых случаях можно объединить эти решения по модулям, используя методы, связанные с китайской теоремой об остатках, чтобы получить решение в целых числах. Возможность применения принципа Хассе для решения некоторых задач ограничена препятствием Манина, но для гипотезы Эрдоша — Строса этого препятствия не существует. На первый взгляд, этот принцип кажется малоприменимым к гипотезе Эрдоша — Строса. Для каждого *n*, уравнение легко разрешимо по любому простому числу или степени простого числа, но, по-видимому, нет способа объединить эти решения для получения положительного целочисленного решения уравнения. Тем не менее, модульная арифметика и тождества, основанные на модульной арифметике, оказались очень важным инструментом в изучении гипотезы.

Обобщения

Как и в случае с дробями вида , было высказано предположение, что любая дробь (при ) может быть представлена в виде суммы трех положительных единичных дробей. Обобщенная версия этого предположения утверждает, что для любого положительного , все, кроме конечного числа дробей , могут быть представлены в виде суммы трех положительных единичных дробей. Предположение о дробях было сформулировано Вацлавом Серпинским в 1956 году, который впоследствии приписал полное предположение студенту Серпинского Анджею Шинцелю. Даже если обобщенное предположение неверно для какого-либо фиксированного значения , то количество дробей с в диапазоне от 1 до , не имеющих представления в виде суммы трех дробей, должно расти лишь сублинейно как функция от . В частности, если сама гипотеза Эрдёша — Штрауса (случай ) неверна, то количество контрпримеров также растет лишь сублинейно. Более того, для любого фиксированного , лишь сублинейное число значений нуждается более чем в двух слагаемых в их разложении на египетские дроби. Обобщенная версия предположения эквивалентна утверждению, что число непредставимых дробей не просто сублинейно, но и ограничено. Когда является нечетным числом, по аналогии с задачей о нечетных жадных разложениях египетских дробей, можно искать решения уравнения , в которых , и являются различными положительными нечетными числами. Известно, что решения этого уравнения всегда существуют при .