Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриядағы ежелгі парадокс
Ancient paradox in geometry
Аристотельдің дөңгелек парадоксы – грек философы Аристотельге жатқызылатын «Механика» еңбегінде кездесетін парадокс немесе мәселе. Онда былай делінген: Дөңгелек екі өлшемді кеңістікте екі шеңбер түрінде бейнеленеді. Оның үлкен, сыртқы шеңбері көлденең бетке (мысалы, дөңгелейтін жолға) жанасады, ал кіші, ішкі шеңбердің ортасы ортақ және үлкен шеңберге берік бекітілген. (Кіші шеңбер дөңгелектің доңғалағы, оның жиегі немесе ось болуы мүмкін.) Егер үлкен шеңбер бір толық айналым жасаса, сырғанамай (немесе тайып кетпей) қозалса, екі шеңбердің де периметрі бойынша жүріп өткен қашықтық бірдей болады. Үлкен шеңбердің жүріп өткен қашықтығы оның периметріне тең, бірақ кіші шеңбер үшін ол периметрінен артық, соның салдарынан парадокс туындайды. Бұл парадокс дөңгелектермен ғана шектелмейді: екі өлшемде бейнеленген басқа да нысандар да осындай мінез-құлық көрсетеді, мысалы, таспаның түйілісі немесе жанына оралған әдеттегі дөңгелек бөтелке немесе банка (кіші шеңбер банканың немесе бөтелкенің аузы немесе мойны болады). Мәселенің тағы бір нұсқасында кіші шеңбер, үлкен шеңбердің орнына, көлденең бетке жанасады. Мысалға, фланцы бар немесе тіреуге қойылған штанганы қарастыруға болады. Америкалық педагог және философ Израиль Драпкин мұндай жағдайды II типтегі парадокс деп атады, және оған ұқсас, бірақ толықтай сәйкес келмейтін талдау қолданылады.
Aristotle's wheel paradox is a paradox or problem appearing in the pseudo Aristotelian Greek work Mechanica. It states as follows: A wheel is depicted in two dimensional space as two circles. Its larger, outer circle is tangential to a horizontal surface (e. g. a road that it rolls on), while the smaller, inner one has the same center and is rigidly affixed to the larger. (The smaller circle could be the bead of a tire, the rim it is mounted upon, or the axle.) Assuming the larger circle rolls without slipping (or skidding) for one full revolution, the distances moved by both circles' circumferences are the same. The distance travelled by the larger circle is equal to its circumference, but for the smaller it is greater than its circumference, thereby creating a paradox. The paradox is not limited to wheels: other things depicted in two dimensions display the same behavior such as a roll of tape, or a typical round bottle or jar rolled on its side (the smaller circle would be the mouth or neck of the jar or bottle). In an alternative version of the problem, the smaller circle, rather than the larger one, is in contact with the horizontal surface. Examples include a typical train wheel, which has a flange, or a barbell straddling a bench. American educator and philosopher Israel Drabkin called these Case II versions of the paradox, and a similar, but unidentical, analysis applies.
Талдау және шешімдер
Парадокс мынада: кіші ішкі шеңбер өзінің шеңберінен емес, радиусы R болатын үлкен сыртқы шеңбердің 2πR шеңберіне тең қашықтыққа жылғады. Егер ішкі шеңбер жеке оратылса, ол өзінің радиусы r-ге тең 2πr қашықтығына жылғады. Ішкі шеңбер жеке емес, үлкен шеңбермен берік байланысқан.
The paradox is that the smaller inner circle moves 2πR, the circumference of the larger outer circle with radius R, rather than its own circumference. If the inner circle were rolled separately, it would move 2πr, its own circumference with radius r. The inner circle is not separate but rigidly connected to the larger.
Бірінші шешім
Егер кіші шеңбер үлкеніне тәуелді болса (I жағдай), үлкен шеңбердің қозғалысы кіші шеңберді үлкенінің шеңбері бойымен жүруге мәжбүр етеді. Егер үлкен шеңбер кішісіне тәуелді болса (II жағдай), кіші шеңбердің қозғалысы үлкен шеңберді кіші шеңбердің шеңбері бойымен жүруге мәжбүр етеді. Бұл ең оңай шешім.
If the smaller circle depends on the larger one (Case I), the larger circle's motion forces the smaller to traverse the larger’s circumference. If the larger circle depends on the smaller one (Case II), then the smaller circle's motion forces the larger circle to traverse the smaller circle’s circumference. This is the simplest solution.
Екінші шешім
Бұл шешім бастапқы және соңғы жағдайларға өтуді қарастырады. Pb нүктесі үлкен шеңберде, ал Ps нүктесі кіші шеңберде болсын, екеуі де бірдей радиуста жатыр. Есептеуді жеңілдету үшін, олардың екеуі де ортасынан тік төмен, сағат тілі алты санын көрсеткендей болсын. Pb және Ps екеуі де бір толық айналым жасағанда циклоида бойынша қозғалады. Олардың әрқайсысы бастапқы нүктеден соңғы нүктеге дейін 2πR қашықтықты горизонтальды бағытта жүрсе де, Ps-тің циклоидасы Pb-ге қарағанда қысқарақ және тиімдірек. Pb орталық сызықтан жоғары да, төмен де Ps-ке қарағанда көбірек қашықтыққа ие – орталық сызық жалғыз тура сызық болып табылады. Егер Pb және Ps өз шеңберлерінде басқа жерде болғанда, қисық жолдардың ұзындығы бірдей болар еді. Қорытындылай айтқанда, кіші шеңбер 2πR қашықтыққа горизонтальды бағытта қозғалады, себебі кіші шеңбердегі кез келген нүкте үлкен шеңбердегі кез келген нүктеге қарағанда қысқарақ, демек тікелей жолмен қозғалады.
This solution considers the transition from the starting to ending positions. Let Pb be a point on the bigger circle and Ps be a point on the smaller circle, both on the same radius. For convenience, assume they are both directly below the center, analogous to both hands of a clock pointing towards six. Both Pb and Ps travel in a cycloid path as they roll together one revolution. While each travels 2πR horizontally from start to end, Ps's cycloid path is shorter and more efficient than Pb's. Pb travels farther above and farther below the center's path – the only straight one – than does Ps. If Pb and Ps were anywhere else on their respective circles, the curved paths would be the same length. Summarizing, the smaller circle moves horizontally 2πR because any point on the smaller circle travels a shorter, and thus more direct path than any point on the larger circle.